圆的基本定理

为什么车轮都是圆的？因为圆上每个点到圆心的距离都相等——滚起来不颠簸。这个「绝对公平」的形状里，还藏着几条关于角的漂亮定律。

先把名字叫对

圆心记作 $O$ ；连接圆心与圆上一点的线段是半径，穿过圆心的双倍版本是直径。这些部件在圆里都见过面。今天的主角是两类角——它们都是普通的角，量法照旧：

圆心角：顶点在圆心，两条边压着圆上两点；
圆周角：顶点落在圆周上，两条边是弦。

两条边之间夹着的那段圆周叫弧——弧与角的关系正是今天的主线（弧与扇形里有它更多的戏份）。

互动演示圆的探究器

半径 r3

直径 d

d = 6

周长 C = 2πr

C = 18.85

面积 A = πr²

A = 28.27

C = 2πr = 2π×3 ≈ 18.85 · A = πr² = π×3² ≈ 28.27

拖动半径滑块，看直径、周长、面积怎么跟着变——直径永远是半径的两倍。热身完毕，来看三条定理。

圆周角定理：一半的关系

同一段弧，站在圆心看它一次，再退到圆周上任一点看它一次：圆周角永远等于同弧圆心角的一半。站在圆心离弧最近，视角最大；退到圆边上，同样的弧看起来缩水一半。圆心角 80°，同弧的圆周角就是 40°；圆心角 90°，圆周角 45°。

同弧上的圆周角都相等

两个同学站在圆周的不同位置（同侧），看同一段弧：两人量出的圆周角相等——因为都等于同一个圆心角的一半，一半当然等于一半。圆心角 60°，不管站在弧外的哪个位置看，圆周角都是 30°。这条定理让「同弧」变成圆里的平等证书：换位置，不换度数。

直径所对的圆周角是 90°

最特别的弧是半圆——它的两端连着直径。直径对的圆心角是平角 180°，于是在圆周上任选一点看这条直径，圆周角永远是 $180° \div 2 = 90°$ 。换句话说：一边是直径的圆内接三角形必定是直角三角形，直径就是斜边——这恰好和勾股定理接上了头。想不用量角器造一个直角？画个圆、拉一条直径、在圆上任意点一点，三步搞定。

三条定理一起算

一段弧对着圆心角 100°， $C$ 、 $D$ 是圆周同侧两点： $\angle ACB = \angle ADB = 50°$ ——都是圆心角的一半，所以彼此相等。若这段弧换成半圆（圆心角 180°），圆周角就成了 90°。三条定理其实是一家人：全从「圆周角 = 圆心角 ÷ 2」长出来。

动手检验

随堂小测

1. 一段弧所对的圆心角是 100°，它的圆周角是多少？
2. AB 是直径，C 是圆上任意一点，∠ACB 等于多少？
3. C、D 是圆周同侧两点，看同一段弧 AB，∠ACB 与 ∠ADB 的关系是？