三角恒等式

上一课里，sin、cos、tan 像三张独立的表值。但它们其实是一家人：同一个角的三个比值之间，藏着几条永远成立的等式，叫三角恒等式。最出名的那条，其实就是勾股定理换了身衣服——本课从几何出发，把它自然地推导出来，再顺手用恒等式化简一个表达式。

单位圆上的 sin 和 cos

画一个半径为 1 的圆（单位圆），圆心放在原点。从圆心画一条与 x 轴成 $\theta$ 角的半径，交圆于一点。这个点的坐标是 $(\cos\theta, \sin\theta)$ ——横坐标是余弦，纵坐标是正弦。

为什么？把这条半径、它的横线、竖线补成一个直角三角形：斜边是 1， $\theta$ 的邻边就是横坐标、对边就是纵坐标。三角函数的定义是「对边 ÷ 斜边」这类比值，而斜边是 1——除以 1 什么都不变，比值干脆就等于坐标本身。单位圆把三角函数从「三角形的属性」升级成「一个点的位置」，还顺手回答了一个老问题：sin 和 cos 为什么永远躺在 −1 到 1 之间？坐标的绝对值不会超过该点到圆心的距离，而这段距离恰好是 1。

勾股定理的另一个名字

点既然在单位圆上，它到原点的距离就永远是 1。对坐标 $(x, y)$ 用距离公式（也就是勾股定理），得 $x^2 + y^2 = 1$ 。代入 $x = \cos\theta$ 、 $y = \sin\theta$ ：

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

这就是平方关系，对每一个角都成立。拿上一课的表验一验： $\theta = 30^\circ$ 时 $0.5^2 + 0.866^2 \approx 0.25 + 0.75 = 1$ ； $\theta = 45^\circ$ 时 $0.707^2 + 0.707^2 \approx 0.5 + 0.5 = 1$ 。无一例外，因为任何角的终点都落在单位圆上。

互动演示斜边缩成 1 的勾股台

直角边 a3直角边 b4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²

斜边 c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!

拖动两条直角边，看三个正方形的面积。盯住一件事：斜边正方形的面积 = 两个直角边正方形之和。把斜边缩成 1，斜边正方形的面积就是 1，两个直角边正方形正是 $\cos^2\theta$ 和 $\sin^2\theta$ ——恒等式就是缩到单位圆上的勾股定理。

商关系：tan 的身世

tan 还有自己的定义，能不能用 sin 和 cos 表达？把「对边 ÷ 邻边」的分子分母各除以斜边，比值不变，正好剩下两个熟悉的比值相除：

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

这条商关系也和表值对得上： $\tan 45^\circ = 0.707 \div 0.707 = 1$ ， $\tan 30^\circ = 0.5 \div 0.866 \approx 0.577$ 。它的含义不小——三个比值里只有两个是独立的，第三个由前两个决定，知道 sin 和 cos，tan 免费送。

用恒等式化简

恒等式是一张「变形许可证」：左右两边永远相等，随时可以互换。化简，就是把式子换成更好算的样子。

化简 sinθ ÷ tanθ

用商关系把 tan 拆开，再「除以分数等于乘倒数」：

$\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = \sin\theta \times \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta$

验算： $\theta = 30^\circ$ 时原式 $= 0.5 \div 0.577 \approx 0.866$ ，而 $\cos 30^\circ = 0.866$ ，吻合。换条路也通：由平方关系移项， $1 - \cos^2\theta$ 永远等于 $\sin^2\theta$ ——两条恒等式配合，能打开大多数化简题。

在正弦定理与余弦定理里，这些比值将走出直角三角形，去处理任意的斜三角形。

动手检验

随堂小测

1. θ = 45° 时，sin²θ + cos²θ 等于？
2. 锐角 θ 满足 sinθ = 0.6，cosθ 是多少？
3. 1 − sin²θ 化简后等于？