三角函数入门

直角三角形藏着一个奇妙性质：只要一个锐角的大小定了，三条边的比例就全定了。边可以放大缩小，比例纹丝不动。勾股定理管的是三边之间的和差关系，三角函数管的则是边与角的关系——它把「角」变成可以拿来计算的数。

先给三条边起好名字

选定一个锐角，相对它，三条边各有名字：

名字跟着角走

斜边永远不变，对边和邻边却会换人：改看另一个锐角，原来的对边就变成了邻边。所以开口说「对边」之前，先说清是相对哪个角。

互动演示直角三角形实验台

直角边 a3直角边 b4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²

斜边 c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!

拖动两条直角边，看斜边和正方形怎么变。盯住一点：相似的直角三角形边长随便变，边与边的比值却不变——这正是三角函数敢列一张表的底气。

相对选定的角，定义三个比值：

英文口诀 SOH-CAH-TOA 把三个定义压成九个字母：S-O-H、C-A-H、T-O-A。三个比值都只由角的大小决定，所以可以预先算好、存进表格（计算器里存得更全）。

表里藏着两件事：45° 的 sin 和 cos 相等——这个三角形两条直角边一样长；30° 和 60° 的 sin、cos 互相调了个儿——同一个三角形，换到另一个角去看。

已知角，求边：斜边 10、一个锐角 30°，30° 的对边多长？

对边 = 斜边 × sin 30° = $10 \times 0.5 = 5$ 。

同一个三角形里，60° 的对边 = $10 \times \sin 60^\circ \approx 8.66$ 。

已知边，求角：量得某直角三角形对边 5、斜边 10，比值 $5 \div 10 = 0.5$ 。回表一查（或按计算器的 $\sin^{-1}$ 键），角是 30°。求边用正算，求角用反查——一台计算器全包了。

计算器调到「角度」

用计算器算三角函数前，确认模式是 DEG（角度）而不是 RAD（弧度）。同一个 30，两种模式下答案完全不同——结果不对劲时，先查模式。