几何变换 · MathLumo

图形也会「搬家」：电梯整体上升、镜子里的像、旋转的风车、放大的照片。几何里把这四种动作统称变换。变换只改变图形的位置或大小，形状本身不变——这正是它最有用的地方。

四种基本移动

在笛卡尔坐标里，每种变换都能写成坐标的算术。平移：把点 $(2,3)$ 向右移 3、向下移 1，就是横坐标加 3、纵坐标减 1，得到 $(5,2)$ 。

反射：关于 x 轴翻折时纵坐标变号—— $(2,3)$ 变成 $(2,-3)$ ；关于 y 轴翻折时横坐标变号—— $(2,3)$ 变成 $(-2,3)$ 。镜子里左右对调的体验，就是一次反射。

坐标口诀

平移：加加减减；反射：一个坐标变号；旋转 180°：两个坐标都变号；放大：两个坐标都乘倍数。记住「谁变号、谁乘倍」，坐标就是图形的遥控器。

旋转：绕原点转 $180^\circ$ 时横纵坐标都变号， $(2,3)$ 转到 $(-2,-3)$ ；转 $90^\circ$ 则要交换两个坐标再变号。绕的中心和角度不同，落点就不同。

放大：以原点为中心按 2 倍放大，每个坐标都乘 2， $(2,3)$ 落到 $(4,6)$ 。倍数大于 1 变大，小于 1 变小，形状始终不变。

互动演示变换演示板

x3y-2

(3, -2) → 第IV象限

先横着走 x 步，再竖着走 y 步 —— 有序对 (x, y) 唯一确定一个点。

在坐标板上摆一个三角形，比如 $(0,0)$ 、 $(4,0)$ 、 $(4,3)$ ；再把每个点的坐标加上 $(2,1)$ 摆出第二个——整块图形向右上平移了一段。改坐标，就是在指挥图形。

对称的图形沿对称轴反射后与自身重合——对称是「反射后不变」的性质；风车叶片转过某个角度后与自身重合，这叫旋转对称。变换不只是搬动图形的工具，也是看清图形性质的一面镜子。