对称 · MathLumo

蝴蝶停在叶子上，左右翅膀一模一样；雪花六条分支彼此相同；「中」「田」「日」这些字看起来也很匀称。数学里把这种「匀称」说得很精确：图形经过某种操作（折叠或旋转）后，与它自己完全重合，它就是对称的。

折出来的对称：轴对称

把图形沿一条直线对折，两边完全重合，这条线叫对称轴，这种对称叫轴对称。

等腰三角形有 1 条对称轴，等边三角形有 3 条；
正方形有 4 条，长方形有 2 条；
一般的平行四边形沿任何直线对折都不能重合——它的对称靠旋转，见下一节；
字母游戏：A、M、T、W 沿竖直的线对折能重合，B、C、D、K 沿水平的线对折能重合。

转出来的对称：旋转对称

把图形绕中心旋转一个角度后与自身重合，就是旋转对称。转满一圈（ $360^\circ$ ）中，能让它重合的位置个数叫对称阶数。

正方形每转 $90^\circ$ 重合一次，一圈共 4 次，阶数是 4——因为 $360^\circ \div 4 = 90^\circ$ ；
等边三角形每转 $120^\circ$ 重合一次，阶数是 3—— $360^\circ \div 3 = 120^\circ$ ；
正五边形阶数 5，正六边形阶数 6，而圆转任意角度都重合。

互动演示旋转对称

角度60

类型：锐角= 1.047 rad

180° = π rad

算一算：正六边形

正六边形有 6 条一样的"辐条"。 $360^\circ \div 6 = 60^\circ$ ，所以每转 $60^\circ$ 就与自身重合一次： $60^\circ$ 、 $120^\circ$ 、 $180^\circ$ 、 $240^\circ$ 、 $300^\circ$ ，一圈共 6 个位置，阶数是 6。

点对称：转半圈

旋转 $180^\circ$ （半圈）后与自身重合的图形，具有点对称（也叫中心对称）。平行四边形就是这样：绕对角线交点转半圈，四个顶点各归其位。字母 S、N、Z 也一样——把它们倒过来看，还是它们自己。

去身边找对称

大自然是对称专家：蝴蝶、树叶、人脸、海星，大多是轴对称的；
剪纸游戏：把纸对折几下剪一刀，展开就是一幅轴对称图案；
扑克牌、车标、包装盒：找一找哪些是轴对称，哪些是旋转对称，并数出阶数。

试折法

找对称轴别靠猜：拿一张描图纸盖在图形上，沿候选的线折一下，重合了才算数。试试长方形的对角线——折过去并不重合，所以长方形有 2 条对称轴，不是 4 条。

动手检验

随堂小测

1. 正方形的旋转对称阶数是多少？
2. 哪个字母沿竖直的线对折能与自身重合？
3. 等边三角形旋转对称的最小角度是多少？