🧊立体图形

纸上的图形是平的，纸盒是立的。从平面到立体，世界多了一个维度，也多了几个值得动手数一数的东西。平面上我们研究周长和面积；到了立体里，主角换成了面、棱、顶点和体积。

从平面到立体

平面图形只有长和宽，比如三角形、圆和长方形；立体图形还多了「高」，能装东西。描述立体图形靠三个词：

• 面：围成立体的平面部分；
• 棱：两个面相交的线段；
• 顶点：棱与棱相交的点。

以正方体为例：6 个面、12 条棱、8 个顶点。

欧拉公式：数出来的规律

对任何不穿孔的多面体，顶点数 $V$、棱数 $E$、面数 $F$ 之间藏着一条恒等式：

$V - E + F = 2$

• 正方体：$8 - 12 + 6 = 2$ ✓
• 四棱锥：5 个顶点、8 条棱、5 个面，$5 - 8 + 5 = 2$ ✓

长 l4宽 w3高 h2

V = l × w × h = 4 × 3 × 2 = 24

底层方块

12

层数

2

用单位方块搭长方体：底面铺 $l \times w$ 块，往上搭 $h$ 层，一共 $l \times w \times h$ 块。数方块这件事做熟了，就自然通向体积。

常见的立体家族

• 长方体与正方体：6 个面，全部是长方形（或正方形）；
• 棱柱：两个完全一样且平行的底面，侧面是长方形，如三棱柱、六棱柱；
• 棱锥：一个底面，侧面全是三角形，在尖顶汇合；
• 圆柱：上下两个圆面，加一个弯曲的侧面；
• 圆锥：一个圆面，弯侧面收拢到一个尖顶；
• 球：整个一个弯曲的面，没有棱，也没有顶点。

展开图与身边的立体

沿几条棱把纸盒剪开摊平，得到的一片平面图形叫展开图。正方体的展开图由 6 个正方形拼成，摆法居然有 11 种——动手剪剪看。包装盒设计、折纸、铁皮加工，全靠展开图。

立体也藏在身边：易拉罐是圆柱，冰淇淋筒是圆锥，足球接近球，快递纸箱是长方体，金字塔是四棱锥。环顾你的房间，找齐这五种。

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. 正方体有多少条棱？

   6812

2. 2. 四棱锥的 V − E + F 等于多少？

   028

3. 3. 只有一个圆形底面和一个尖顶的立体是？

   圆柱圆锥球