🔷多边形的角

三角形的内角和是雷打不动的 180°。那四边形、五边形、一百边形呢？别慌——只要会把图形切成三角形，所有多边形的角都算得清。

从三角形拼出来

在多边形内部任选一个顶点，向它不相邻的顶点连对角线。四边形被切成 2 个三角形，五边形切成 3 个，六边形切成 4 个——边数为 $n$ 的多边形总切成 $n-2$ 个三角形。每个三角形贡献 180°，所以内角和为：

$S = (n-2) \times 180^\circ$

五边形和六边形

五边形：$n = 5$，内角和

$(5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$

六边形：$n = 6$，内角和

$(6-2) \times 180^\circ = 720^\circ$

边数每多一条，内角和就多 180°——多出来的正好是一个新三角形的贡献。

正多边形：每个角都一样

正多边形各边相等、各角相等，所以每个内角等于「内角和 ÷ 边数」：

$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

正五边形：$540^\circ \div 5 = 108^\circ$；正六边形：$720^\circ \div 6 = 120^\circ$。

角度60

类型：锐角= 1.047 rad

180° = π rad

把角度拖到 $108^\circ$：这正是正五边形的一个内角。它的补角 $72^\circ$，恰好就是正五边形的一个外角。顺带一提，任何四边形的内角和都是 $(4-2) \times 180^\circ = 360^\circ$。

外角和永远是 360°

想象沿着多边形的边缘走一圈：每经过一个顶点就转一个弯，走完一圈正好面朝出发时的方向——总共转了 360°，一整圈。神奇的是这与边数无关：三角形如此，一百边形也如此。对正多边形，每个外角是 $360^\circ \div n$：正五边形的外角 $72^\circ$ 与内角 $108^\circ$ 恰好拼成一条直线。走一圈的想法，也是内角和 180° 这个「半圈」的另一半故事。

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. 六边形的内角和是多少？

   540°720°900°

2. 2. 正五边形的每个内角是多少？

   60°108°120°

3. 3. 不管几边形，外角和总是多少？

   180°360°和边数有关