全等与相似

复印机吐出的两页讲义，边缘对得严丝合缝；课本插图上的中国轮廓和挂墙大地图上的中国轮廓，大小差得远，形状却一模一样。前一种关系叫全等，后一种叫相似——几何里最重要的两种「相同」。

全等：能完全重合

两个图形全等，意思是平移、旋转（必要时翻个面）之后能完全重合：形状相同，大小也相同。对三角形来说，只要三条边对应相等，两个三角形就全等——三边一锁，形状就定死了，这正是三角形稳定性的功劳。全等的图形像同一枚印章盖出来的：对应角相等，对应边也相等。

两个图形相似，形状一样，大小可以不同。规则很干净：

边按 $k$ 倍缩放，周长也按 $k$ 倍缩放——但面积按 $k^2$ 倍缩放，因为长和宽同时都在变。

3、4、5 放大 3 倍

一个三边为 3、4、5 的直角三角形（ $3^2+4^2=5^2$ ），按 3 倍放大后，三边变成 9、12、15。

周长：原来是 $3+4+5=12$ ，现在是 $9+12+15=36$ ，正好 $12 \times 3$ 。

面积：原来是 $\frac{3 \times 4}{2}=6$ ，现在是 $\frac{9 \times 12}{2}=54$ ，正好 $6 \times 9$ ——面积放大了 $3^2=9$ 倍！

互动演示相似缩放

直角边 a3直角边 b4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²

斜边 c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!

拖动两条直角边试试：不管怎么拖，它始终是直角三角形——形状不变；但边长、周长、面积全都跟着变——大小在变。这就是相似最直观的样子。

相似无处不在：比例尺 1:100000 的地图把真实世界缩小 100000 倍，图上 1 cm 代表实际 1 km；建筑模型、零件图纸、照片缩放，靠的都是「对应角相等、对应边成比例」这一条。抓住它，再配上比与比例的功夫，就能在大小不同的世界里自由换算。