笛卡尔坐标

电影票上印着「5 排 3 座」，你不用问任何人，径直就能走到座位：先找第 5 排，再数到第 3 个。三百多年前，数学家笛卡尔把这套「报座位」的办法搬进了数学——画两条互相垂直的数轴，平面上的每个点就都有了独一无二的地址。

两条数轴，一张地图

这两条数轴各有分工：

一个点的地址写成有序对 $(x, y)$ ：括号里先横后竖。 $(3, 5)$ 和 $(5, 3)$ 是两个不同的点——顺序就是规矩，这正是「有序」两个字的分量。

读坐标像走路，口诀是先横后竖：从原点出发，沿 x 轴向右走 2 步，再向上走 3 步，落脚处就是 $(2, 3)$ 。反过来，想读出某个点的坐标，就看它横向对着 x 轴上的哪个数、纵向对着 y 轴上的哪个数，按「先横后竖」报出来。

顺序报反了会怎样

把 $(2, 3)$ 写成 $(3, 2)$ ，等于先横走 3 步再竖走 2 步——落脚在另一个点。坐标题最常见的丢分，就是把这对数报反了。

两条数轴把平面切成四块，从右上角开始逆时针编号：第一、二、三、四象限。位置不用背，盯住符号就行：

两条坐标轴本身不属于任何象限——轴上的点至少有一个坐标是 $0$ ，比如 $(4, 0)$ 。

互动演示坐标板

x3y-2

(3, -2) → 第IV象限

先横着走 x 步，再竖着走 y 步 —— 有序对 (x, y) 唯一确定一个点。

拖动 x、y 两个滑块，看点在平面上游走，读数牌会报出它住在哪个象限。给自己三个任务：把点挪进第二象限；找一个「住在 x 轴上」的点；再让 x、y 同号——看看点会落在哪两块区域。

之后你在直线方程里会看到：一条直线，就是所有满足 $y = mx + b$ 的点 $(x, y)$ 排成的整齐队伍——而每个 $(x, y)$ ，正是今天学的坐标。变量与函数机里机器的输入和输出，也刚好能放进这对括号。