直线方程 · MathLumo

直尺画出的每一条线——无论多陡、多平——都能写成一个短公式。读懂它，你就能凭两个字母预知整条直线的长相。字母 $m$ 和 $b$ 的用法，正是变量与函数机里练过的老本行。

y = mx + b：每个字母都有工作

$y = mx + b$

以 $y = 2x + 1$ 为例： $x = 0$ 时 $y = 1$ ，直线从点 $(0, 1)$ 出发； $x$ 每加 1， $y$ 就跟着加 2。

斜率回答一个问题：每往前一步，升高多少？

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

希腊字母 $\Delta$ （delta）表示「变化量」： $\Delta y$ 是 y 变了多少， $\Delta x$ 是 x 变了多少。看一个例子——直线经过 $(1, 3)$ 和 $(4, 9)$ ：

$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

每向右走 1，就向上爬 2。 $m$ 越大线越陡； $m > 0$ 时线向右上方爬， $m < 0$ 时线向右下方滑。

直线为什么直

在直线上任取两点算斜率，答案永远相同。处处不变的变化率，正是「直」的代数含义。

两种直线值得单独认识：

水平线，如 $y = 3$ ：x 随便变，y 纹丝不动，斜率 $m = 0$ ——一点坡度都没有；
竖直线，如 $x = 2$ ：y 随便变，x 一动不动。它是 $y = mx + b$ 写不出来的例外—— $\Delta x = 0$ ，除以零没有意义，所以竖直线没有斜率。

手机资费：月租 19 元，流量每 GB 3 元。设用量为 $x$ GB、话费为 $y$ 元：

$y = 3x + 19$

$m = 3$ 是变化的速度：每多用 1 GB，多花 3 元； $b = 19$ 是起点：一滴流量不用也要交的月租。用了 10 GB 时， $y = 3 \times 10 + 19 = 49$ 元。

很多现实关系都长这样： $b$ 是打底的固定部分， $m$ 是按量计价的部分。

互动演示直线实验台

斜率 m1截距 b2

y = x + 2

与 y 轴交点

(0, 2)

与 x 轴交点

(-2, 0)

拖动滑块改变 $m$ 和 $b$ 。先只动 $b$ ，看直线整体平移；再只动 $m$ ，看直线绕着截距旋转——由缓变陡，由上坡变下坡。