🔺指数

$2 \times 2 \times 2 \times 2$ 写起来啰嗦，数学家把它缩写成 $2^4$。别小看这个快捷键：乘法把重复的加法缩写，指数把重复的乘法缩写。想象一张纸对折一次 2 层、两次 4 层……折 10 次就是 $2^{10} = 1024$ 层。

底数和指数：重复乘法的缩写

$a^n$ 读作「a 的 n 次方」：$a$ 叫底数，$n$ 叫指数，意思是 n 个 a 连乘。

• $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$
• $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$

注意 $2^4 \neq 2 \times 4$：指数说的是「连乘几次」，不是「乘几」。

三条指数定律

同底数的幂放在一起运算时，指数有明确的规矩：

运算	定律	数值验证
同底相乘	$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$2^2 \times 2^3 = 4 \times 8 = 32 = 2^5$ ✓
同底相除	$a^m \div a^n = a^{m-n}$	$2^5 \div 2^2 = 32 \div 4 = 8 = 2^3$ ✓
幂的乘方	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(3^2)^2 = 9^2 = 81 = 3^4$ ✓

道理不难想：$2^2 \times 2^3$ 就是 2 个 2 和 3 个 2 接着连乘——一共 5 个 2，所以指数相加。

零次幂为什么等于 1

$a^0 = 1$ 不是拍脑袋的规定，看这串规律：

$2^4 = 16, \quad 2^3 = 8, \quad 2^2 = 4, \quad 2^1 = 2$

每往右一步，指数减 1，数值除以 2。照这个节奏走到底：$2^0 = 2 \div 2 = 1$。只要 $a \neq 0$，同样的推理对谁都成立：$a^0 = 1$。

平方、立方和写不下的数

先认两个常用名字：$a^2$ 读作「a 的平方」，因为正方形的面积正是边长的平方；$a^3$ 读作「a 的立方」，因为正方体的体积正是棱长的立方。指数再高，就统称「n 次方」。

指数真正的主场是大数。位值一课说过，10 的幂负责给每个数位定位；科学计数法更进一步，把任何大数压成「一个数乘 10 的幂」。

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. 2³×2² 等于多少？

   326416

2. 2. 5⁰ 等于多少？

   015

3. 3. (-2)² 和 −2² 分别是多少？

   -4 和 44 和 -4都等于 4