不等式 · MathLumo

方程说「正好 49 元」，可生活里更常听到的是「身高至少 1.2 米才能玩」「包里装不下超过 10 本」。这些带「至少」「不超过」的句子，数学里用不等式来表达。解它的手法大多从解一元一次方程照搬，只有一处要特别小心——后面揭晓。

四个符号

$a < b$ ：a 小于 b，a 排在 b 的左边；
$a > b$ ：a 大于 b，a 排在 b 的右边；
$a \le b$ ：a 不超过 b——小于或正好等于，都算过关；
$a \ge b$ ：a 至少是 b——大于或正好等于，都算数。

带等号的那对（ $\le$ 、 $\ge$ ）差别最容易被忽略：「不超过 8 人」可以正好 8 人；「超过 8 人」就不行，得到 9 个才合格。

在数轴上画出来

不等式的答案常常不是「一个数」，而是「一整段数」，数轴就是它的画像：

$x > 3$ ：3 右边的所有数。在 3 处画空心圆圈（3 本身不合格），再向右画箭头；
$x \le -1$ ：−1 以及它左边的所有数。在 −1 处画实心圆点（−1 合格），再向左画箭头。

空心还是实心

带等号（ $\le$ 、 $\ge$ ）画实心点——端点入围；不带等号（ $<$ 、 $>$ ）画空心圈——端点出局。一句话：等号在，点就实。

像解方程一样解不等式

移项、两边同加减，照方程的老办法办：

$x + 2 > 5 \implies x > 3$

但只要两边同乘或同除以一个负数，不等号就必须掉头：

$-2x < 6 \implies x > -3$

为什么？负数把数轴左右翻转：本来 $2 < 3$ ，各自变号后就成了 $-2 > -3$ 。翻转世界的同时，小于号只好变成大于号。

验一验才踏实

解 $-2x < 6$ 得 $x > -3$ 。检验：取 $x = 0$ （在 $-3$ 右边），左边 $-2 \times 0 = 0$ ，确实 $0 < 6$ ，成立。再取 $x = -4$ （在 $-3$ 左边），左边 $-2 \times (-4) = 8$ ，而 $8 < 6$ 不成立——被排除的果然该被排除。

生活里的不等式

过山车：身高 $h \ge 1.2$ 米，正好 1.2 米也放行；
电梯：载客人数 $n \le 10$ ，第 11 个人得等下一趟；
手机电量：余量 $b \le 20\%$ 就报警。

把一句话翻译成不等式

「身高超过 1.4 米要买成人票」：设身高 $h$ 米，「超过」不含 1.4 本身，写成 $h > 1.4$ 。若规则改成「1.4 米及以上」，那就是 $h \ge 1.4$ ——一字之差，符号不同。

动手检验

随堂小测

1. 「最多 8 人」用符号怎么写？
2. 解 -2x < 6，得到？
3. 在数轴上表示 x ≥ 1，端点该画成？