🎢二次方程

把球向上抛出，它划过一道弯弯的弧线再落回来；喷泉的水柱、过山车的俯冲，都是这道弧线的亲戚。它叫抛物线，幕后导演是一个带 $x^2$ 的方程。$x^2$ 就是 $x \cdot x$——指数里学过的乘法快捷键，今天轮到它当主角。

什么样的方程算「二次」

看式子里 x 的最高次幂：

• $2x + 1 = 0$：最高次幂是 1，直线的事，归直线方程管；
• $x^2 - 3x - 10 = 0$：最高次幂是 $x^2$，这就是二次方程。

二次方程一般写成 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \ne 0$）。一旦 $a = 0$，$x^2$ 项消失，方程就退回直线。

列个表，抛物线现形

给 $y = x^2$ 列一张表：

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

两个观察：

• y 永远不是负数——平方从不欠账；
• x 取 $-3$ 和 $3$，y 都是 $9$：图像左右对称，弯成一只碗。这只碗就是抛物线。

解它：先分解，再各个击破

解 $x^2 - 3x - 10 = 0$。左边可以分解成两个括号——找两个数，乘积是 $-10$、和是 $-3$：是 $-5$ 和 $2$。于是

$(x - 5)(x + 2) = 0$

关键一步：两个数相乘得 0，必有一个是 0。所以要么

$x - 5 = 0$

要么

$x + 2 = 0$

解得 $x = 5$ 或 $x = -2$。两个都要代回去验算：$5^2 - 3 \times 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0$；$(-2)^2 - 3 \times (-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$。都成立。为什么会有两个答案？因为抛物线跟 x 轴可以有两个交点，每个交点都是一个解。分解的手艺，在因式分解一课里细讲。

备用钥匙：求根公式

分解不动时也别慌，还有一把万能钥匙。对 $ax^2 + bx + c = 0$：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\pm$ 读作「正负」，意思是两个答案一起端出来。还用 $x^2 - 3x - 10 = 0$ 试一次：这里 $a = 1$、$b = -3$、$c = -10$，代入得

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$

取正号得 $x = 5$，取负号得 $x = -2$——和分解法殊途同归。

从直线到抛物线

斜率 m1截距 b2

y = x + 2

与 y 轴交点

(0, 2)

与 x 轴交点

(-2, 0)

这是你在直线课玩过的老舞台：拖动 $m$ 和 $b$，x 每加 1，y 永远整齐地加同一份，所以直线从不转弯。二次的世界正相反——$y = x^2$ 的表格里，y 的增量是 $1, 3, 5, 7$，越走越快，图像由此越弯越陡。直线匀速，抛物线加速，这一弯，弯出了一个新世界。

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. 哪个是二次方程？

   x² - 4 = 03x + 1 = 0x = 8

2. 2. (x - 5)(x + 2) = 0 的解是？

   x = 5 或 x = -2只有 x = 5x = -2 或 x = 2

3. 3. 对 x² - 3x - 10 = 0 用求根公式，b 是多少？

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