🔩因式分解

$3 \times 4 = 12$ 人人会算；可反过来，看到 12 就知道它能拆成 $3 \times 4$，这是分解的眼力。代数里同样有两个方向：把 $3(x + 2)$ 展开成 $3x + 6$ 是顺流而下；把 $3x + 6$ 装回括号 $3(x + 2)$，就是今天的因式分解。变量与函数机里你干过「看输出猜规则」的事——分解做的正是这个：从结果反推规则。

第一招：提公因式

看 $6x + 9$：系数 6 和 9 有公因数 3，把它提到括号外：

$6x + 9 = 3(2x + 3)$

括号里剩什么？每一项除以公因式：$6x \div 3 = 2x$，$9 \div 3 = 3$。检验靠展开：$3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9$，分毫不差。公因式还能带字母：$5x^2 + 10x = 5x(x + 2)$。

第二招：拆 $x^2 + bx + c$

目标：$x^2 + 5x + 6$。想把它拆成 $(x + \square)(x + \square)$，两个空要填的数必须乘积等于 6，和等于 5。凑一凑：$2 \times 3 = 6$，$2 + 3 = 5$——就是它们俩：

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

务必展开验算：$(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$，严丝合缝。

第三招：平方差

$x^2 - 9$ 这种「平方减平方」有固定拆法：

$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

展开验算：$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3x + 3x - 9$——中间两项正负相抵，只剩 $x^2 - 9$。凡形如 $a^2 - b^2$ 的式子都能这样拆成 $(a + b)(a - b)$。认出平方是第一步：$x^2$ 是 $x \cdot x$，$9$ 是 $3^2$——指数的功课正好派上用场。

小心方向：拆得动的是平方差 $x^2 - 9$；$x^2 + 9$ 是平方和，这一课先记住——它拆不开。

分解观察器

机器里藏了一条规则，输入几个数试试，猜猜它是什么？

▶ 输入

⚙️? ? ?

输出

—

🔍 揭示规则🎲 换一条规则

函数机把规则「乘 3 再加 2」加工成输出 $3x + 2$——这是展开，顺流而下。因式分解是逆流而上：盯着 $3x + 2$ 问「哪条规则能造出你」。在机器里多换几条规则，体会一下「顺流展开、逆流分解」这对相反相成的搭档。

学它干什么

一出场就是大场面：解方程。$(x - 5)(x + 2) = 0$ 一旦分解成型，答案自动现身——$x = 5$ 或 $x = -2$。二次方程一课里，分解正是解二次方程的第一把钥匙。

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. 6x + 9 分解的结果是？

   3(2x + 3)3(2x + 9)6(x + 3)

2. 2. x² + 7x + 10 分解的结果是？

   (x + 2)(x + 5)(x + 1)(x + 10)(x - 2)(x - 5)

3. 3. x² - 16 拆成？

   (x + 4)(x - 4)(x - 4)²(x + 4)²