二元一次方程组

一个未知数、一条方程，解一元一次方程已经教过怎么拿下。可现实问题常常一次冒出两个未知数：「苹果多少钱一个？橘子呢？」只给一条线索，答案会有无穷多；两条线索齐下，答案才被钉死。

两个未知数，两条线索

看这对方程：

$x + y = 10, \qquad x - y = 2$

$x$ 和 $y$ 各是多少？第一条方程单独看，解有无穷多组（1 和 9、5 和 5、6.5 和 3.5……）；第二条也一样。单独一条定不了音，两条合起来才能锁定唯一的一组解——这就是「方程组」：中文叫联立，英文叫 simultaneous（同时成立），说的都是同一件事——要找的那组数，必须两条方程都满足。

代入法：把一个未知数换成算式

代入法走一遍

解 $x + y = 10$ ， $x - y = 2$ 。

从第二条方程解出 $x$ ： $x = y + 2$ ——用 $y$ 来表达 $x$ ；
把它代入第一条方程： $(y + 2) + y = 10$ ，也就是 $2y + 2 = 10$ ；
两边减 2、再除以 2： $y = 4$ ；
回代： $x = y + 2 = 6$ 。

解是 $x = 6$ 、 $y = 4$ 。两个未知数，先消掉一个，就回到了熟悉的一元方程。

消元法：加减之间，未知数消失

更快的路是直接把两条方程相加：左边 $x$ 加 $x$ 得 $2x$ ， $y$ 和 $-y$ 正好抵消，右边 $10 + 2 = 12$ ：

$2x = 12 \quad\Rightarrow\quad x = 6$

把 $x = 6$ 代回任意一条方程，得 $y = 4$ 。也可以相减： $(x + y) - (x - y) = 10 - 2$ ，得 $2y = 8$ ， $y = 4$ 。同一个方程组，代入和消元殊途同归——选哪条路，看哪条方程的系数长得顺手。

实战：苹果和橘子

菜市场方程组

3 个苹果加 2 个橘子 13 元，1 个苹果加 1 个橘子 5 元，各多少钱一个？

设苹果 $a$ 元、橘子 $o$ 元： $3a + 2o = 13$ ， $a + o = 5$ 。

从第二条得 $o = 5 - a$ ，代入第一条： $3a + 2(5 - a) = 13$ ；
展开： $3a + 10 - 2a = 13$ ，即 $a + 10 = 13$ ，所以 $a = 3$ ；
于是 $o = 5 - 3 = 2$ 。苹果 3 元，橘子 2 元。

还有巧办法：把「1 苹果 1 橘子」整个翻倍成 2 苹果 2 橘子 10 元，和 3 苹果 2 橘子 13 元一比，多出的正好是 1 个苹果 3 元——这就是消元法在心算里的样子。

两条都要验

求出解后，把两个数同时代回两条方程： $6 + 4 = 10$ 成立， $6 - 4 = 2$ 也成立，才算过关。只验一条不够——只满足一条方程的解多的是。

动手检验

随堂小测

1. x+y=10、x−y=2，x 是多少？
2. 为什么解两个未知数需要两条方程？
3. 3 个苹果 2 个橘子 13 元，1 个苹果 1 个橘子 5 元，一个苹果多少钱？