📉函数与图像

变量与函数机一课里见过那台神秘机器：投进一个数，它按暗藏的规矩吐出另一个数。现在给这台机器一个正式名字——函数，再往前走一步：把它的进出记录画在坐标纸上，机器的脾气会直接显形成一条曲线。

一台输入输出的机器

函数就是这样一台机器：

• 输入（记作 $x$）：只能喂一个数；
• 规矩：固定不变，比如「乘 2 再加 1」；
• 输出：按规矩处理后的那个数。

规矩一旦定下，每个输入都有唯一确定的输出——不许一个输入吐两个答案，这是函数的铁律。

f(x)：给规矩起个名字

「乘 2 再加 1」写成 $f(x) = 2x + 1$，读作「f of x」，意思是：以 $x$ 为原料，按 $f$ 这套规矩加工。问 $f(3)$ 就是问「喂 3 进去，吐出什么」：$f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$。同样，$f(10) = 21$，$f(0) = 1$。

从表格到图像

给 $y = x^2$ 列一张进出记录表：

$x$	−2	−1	0	1	2
$y$	4	1	0	1	4

把每组 $(x, y)$ 当成坐标纸上的点描出来，再用平滑曲线连起来——一条 U 形的抛物线出现了。不同的规矩长不同的形状：$y = 2x + 1$ 这类一次函数是笔直的直线，$y = x^2$ 这类二次函数是弯过来的抛物线，规矩再复杂些，曲线还会上下起伏。

读懂一张图

图像是机器的性格说明书：

• 升与降：从左往右看，曲线爬升说明「输入越大输出越大」，下滑则相反；
• 交点：曲线穿过 $y$ 轴的位置（$x = 0$ 时的输出），和落在 $x$ 轴上的位置（输出恰好为 0 的输入）；
• 定义域与值域：一句话版——定义域是机器肯接受的全部输入，值域是它可能吐出的全部输出。

斜率 m1截距 b2

y = x + 2

与 y 轴交点

(0, 2)

与 x 轴交点

(-2, 0)

拖动 $m$ 和 $b$：$m$ 管坡度，$b$ 管出发点。直线 $y = 2x + 1$ 就是 $m = 2$、$b = 1$ 的样子，它与 $y$ 轴恰好交在 1。直线的一切花招，直线方程接着讲。

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. f(x)=2x+1，f(3) 等于多少？

   679

2. 2. y=x²，x=−3 时 y 是多少？

   −996

3. 3. 直线 y=2x+1 与 y 轴的交点在哪？

   (0,1)(1,0)(0,2)