弧与扇形 · MathLumo

披萨刚上桌，你切走一块。这块披萨带着两个值得算的东西：饼边有多长，饼面有多大。它们分别是圆的一部分——弧和扇形。而切走多少，只由一个数决定：圆心角。

圆心角决定份数

从圆心出发的两条半径夹出的角叫圆心角。整个圆是 $360°$ ，圆心角 $n$ 就给出一个天然的比例：

$\frac{n}{360}$

圆心角 $90°$ ，就切下 $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ 个圆——饼边切四分之一，饼面也切四分之一。弧和扇形永远同步，扇形统计图之所以成立，靠的正是这条同步律。

互动演示扇形切分器

半径 r3

直径 d

d = 6

周长 C = 2πr

C = 18.85

面积 A = πr²

A = 28.27

C = 2πr = 2π×3 ≈ 18.85 · A = πr² = π×3² ≈ 28.27

先用探究器把半径调到你想要的数，读出整个圆的周长和面积，再按圆心角的比例一切——弧长和扇形面积就都有了。

$L = \frac{n}{360} \times 2\pi r \qquad S = \frac{n}{360} \times \pi r^2$

两条公式像双胞胎，底子却不同：弧长从周长里取一份，扇形面积从面积里取一份。拿错底子是最常见的错法。

别拿错底子

$60°$ 、半径 3 的弧长是 $\frac{1}{6} \times 2\pi \times 3 = \pi \approx 3.14$ 。若错拿面积当底子，会算出 $\frac{1}{6} \times 9\pi \approx 4.71$ ——多出约一半。

半径 6、圆心角 $90°$ ：

切披萨的公平问题

8 个人分一个披萨，每人一块要一样大，每块的圆心角是多少？ $360° \div 8 = 45°$ 。想要双倍的饼边？只能切更大的角——半径不变时，弧长和面积都只听圆心角的。

披萨块、风扇叶片、钟面上指针扫过的区域、扇形统计图里的每一块，都是扇形。比较它们的大小只需一句口诀：先算比例，再乘整体。比例思想的其他玩法，去百分比接着练。