勾股定理 · MathLumo

据说四千年前的古埃及地基工人，会用一段分成 12 等份的绳子围出 3-4-5 的三角形（ $3+4+5=12$ ，刚好用完）——三边是这个比例时，那个角必定是直角。他们不懂代数，却已经在用勾股定理了。

先认识直角三角形

直角三角形，就是有一个角恰好是 90° 的三角形。三条边各有名字：

分别在三条边上盖一个正方形。两千多年前，毕达哥拉斯学派发现了一个永远成立的关系：

$a^2 + b^2 = c^2$

两条直角边上的正方形，面积加起来不多不少，正好等于斜边上那个大正方形。比如直角边是 3 和 4： $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ，斜边就是 5。

这个关系反过来用也成立：只要两条短边的平方和等于最长边的平方，三角形里必定藏着一个直角——不用量角器，算一下就知道。毕达哥拉斯学派还把它当拼图玩：把两条直角边上的两个正方形剪开，总能重新拼成斜边上那个大正方形。

拖动两条直角边，看看三个正方形怎么变化：

互动演示勾股探究器

直角边 a3直角边 b4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²

斜边 c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!

三条边都是整数的直角三角形，边长组合叫勾股数。最常用的几组：

勾股数还能无限续杯：把 3-4-5 乘 3 得 9-12-15，乘 4 得 12-16-20，每一组都照常成立。乘法在这里只是把三角形整体放大。

记住 3-4-5，在工地、装修、画格子的时候，随手就能拉出一个直角。

梯子靠墙

一架 5 米长的梯子斜靠在墙上，梯脚离墙 3 米。梯子顶端够到多高？

梯子是斜边 $c = 5$ ，离墙距离是直角边 $a = 3$ ，设高度为 $b$ ：

$b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16, \qquad b = 4$

顶端在离地 4 米处。求直角边用减法，求斜边用加法——先分清谁是斜边，公式就不会用反。

只对直角三角形有效

勾股定理是直角三角形的专利。三边为 4、5、6 的三角形， $4^2 + 5^2 = 41 \neq 36$ ——三角形不直，公式就不成立。动手计算之前，先确认那个 90° 的角真的存在。