正弦定理与余弦定理

直角三角形自带后台：斜边就位，sin、cos、tan 随叫随到。可现实里的三角形常常没有直角——量河宽、算船位、设计屋架，遇到的都是斜三角形。好在它们有两件趁手的武器：正弦定理和余弦定理。两件武器回答同一类问题——已知部分边和角，把剩下的全算出来。

正弦定理：边找对角

在任意三角形里，每条边都有一个正对的角。正弦定理说：边与它对角的正弦之比，三条边全部相等：

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

直觉很顺：角越大，张开得越宽，撑出的边越长——最大的角必然对着最长的边。正弦定理把这层「配对」写成了精确的等式。它最擅长「已知两角和任一边」：两个角一定，第三个角由内角和 $180^\circ$ 自动补齐，再用一次比例就能搬出所有边。

测河宽

河对岸有一棵树 $T$ 。沿河岸量出基线 $AB = 100$ 米；在 $A$ 测得视线 $AT$ 与河岸成 $74^\circ$ ，在 $B$ 测得视线 $BT$ 与河岸成 $61^\circ$ 。三角形 $ABT$ 中，树那头的角 $= 180 - 74 - 61 = 45^\circ$ 。 $AT$ 对着角 $B$ ， $AB$ 对着角 $T$ ，用正弦定理：

$\frac{AT}{\sin 61^\circ} = \frac{100}{\sin 45^\circ}$

$AT = 100 \times \frac{\sin 61^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 100 \times \frac{0.8746}{0.7071} \approx 124$

从 $A$ 到树约 124 米。一步没下河，河的宽度已经到手。

余弦定理：勾股定理的推广

勾股定理只伺候直角。把直角换成任意角 $C$ ，等式就要打个折扣：

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$C = 90^\circ$ 时 $\cos C = 0$ ，减去的整项消失，公式退回勾股定理——所以说它是推广。角 $C$ 越小， $\cos C$ 越接近 1，扣掉的越多， $c$ 就越短；角越大， $c$ 越长。它最擅长两件事：已知两边和夹角，求第三边；已知三边，反求角（把公式移项成 $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ ）。倒过来用也一样顺手——三边已知时，先算出最大的角，剩下的两个再交给正弦定理补齐，比量角器精确得多。

3-4-5 验一遍

取熟悉的 3-4-5 直角三角形： $a = 3$ 、 $b = 4$ 、 $c = 5$ 、 $C = 90^\circ$ 。代入余弦定理： $25 = 9 + 16 - 2 \times 3 \times 4 \times 0 = 25$ ，分毫不差——退化为勾股定理。

换个角再试：同一个 3 和 4，夹角缩成 $C = 60^\circ$ ， $\cos 60^\circ = 0.5$ ，于是 $c^2 = 9 + 16 - 24 \times 0.5 = 13$ ， $c = \sqrt{13} \approx 3.61$ 。夹角从 $90^\circ$ 收窄到 $60^\circ$ ，第三边果然变短。

什么时候用哪件武器

对着已知条件挑工具：

已知两角和任一边 → 正弦定理（第三个角免费送）；
已知两边和它们的夹角 → 余弦定理求第三边；
已知三边 → 余弦定理的移项版求角；
有直角 → 老朋友勾股定理加三角函数就够了。

口诀：看条件里有没有「夹角」。夹角在，用余弦定理；夹角不在、对角齐全，用正弦定理。还想让比值和恒等式更进一步，去三角恒等式；三角形本身的分类与性质见三角形。

动手检验

随堂小测

1. 正弦定理说的是哪条等式？
2. a=3、b=4、C=90°，用余弦定理算 c 是多少？
3. 已知两边和它们的夹角，应先用哪件武器？