向量：又长又方向

「向前走 3 公里」这句话缺了点什么——朝哪边走？向东 3 公里和向北 3 公里，终点差得远。像位移这样既带大小又带方向的量叫向量；只有大小没有方向的量叫标量，比如 3 公斤、20 元。速度只报大小是标量——速率；报上方向，才升级成向量。

分量：把箭头拆成两步

在坐标系里，一个向量可以写成一对数 $(3, 4)$ ：先向东 3，再向北 4。这对数叫分量，好比把一次斜着飞拆成「横着走 + 竖着走」两步。

互动演示从原点出发的位置向量

x3y-2

(3, -2) → 第IV象限

先横着走 x 步，再竖着走 y 步 —— 有序对 (x, y) 唯一确定一个点。

拖动滑块，盯着那条先横后竖的虚线路径：从原点走到 $(3, -2)$ ，就是「横走 3、竖走 −2（向下 2）」。从原点出发的向量叫位置向量——坐标本身就是它的分量。

先向东 3、向北 4，接着又向东 1、向北 2，你总共到了哪里？向量加法只需把分量分别相加：

$(3, 4) + (1, 2) = (4, 6)$

几何上叫首尾相接：第二支箭的尾巴接到第一支箭的箭头，从最初起点直指最后终点的箭就是和。顺序无所谓——先向东再向北，与先向北再向东，落点相同。

把向量放大到 2 倍，就是两个分量各乘 2：

$2 \times (-1, 5) = (-2, 10)$

乘负数则掉头： $-1 \times (3, 4) = (-3, -4)$ ，箭头反向，长度不变。

箭头本身有多长？把分量看作两条直角边，请出勾股定理：

$|(3, 4)| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

向东 3 公里再向北 4 公里，直线距离正是 5 公里——3、4、5 这组老朋友又见面了。再来一个： $|(-6, 8)| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ 。

向量最独特的脾气：只关心「走了多少」，不关心「从哪走」。 $(3, 4)$ 画在原点还是画在别处，都是同一支箭。于是图形的平移可以一句话说完：每个点都加上同一个向量—— $(2, 3)$ 把整个图形向右挪 2、向上挪 3，形状大小分毫不动。变换一课里那些滑动图形，幕后推手正是它。