数列与求和

排好队的数叫数列：1, 3, 5, 7, … 每个数是它的一个项。数字规律一课猜过这些队伍的走向，这次把两支最常见的队伍研究到底——等差与等比——再认识求和的大伞：Σ。

等差数列：匀速的脚步

每一项都比前一项多同一个数，就叫等差数列，这个数叫公差 d。看队伍 3, 7, 11, 15, …：

递推的眼光：下一项 = 上一项 + 4；
通项的眼光：第 n 项 $a_n = 3 + (n-1) \times 4$ ，第 10 项 = $3 + 36 = 39$ 。

递推像队列口令「跟紧前面那个人」；通项像花名册——报出编号就能直接找到人，不必从头数起。

高斯的配对捷径

1 加到 100 等于多少？传说小高斯没等老师念完题就报出 5050。他的窍门：首尾配对。

$1 + 2 + \cdots + 100 = (1+100) + (2+99) + \cdots = 101 \times 50 = 5050$

100 个数配成 50 对，每对的和都是 101。一般地，等差数列求和就是

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

用小队伍验一验

等差数列 3, 7, 11, …, 39 共 10 项。套公式： $S_{10} = \frac{10 \times (3+39)}{2} = 210$ 。老实配对：3+39=42，7+35=42，五对全是 42， $42 \times 5 = 210$ 。两条路，同一个答案。

等比数列：越滚越快

每一项都乘同一个数，就是等比数列，这个数叫公比 r。队伍 1, 2, 4, 8, … 的通项是 $a_n = 2^{n-1}$ ，第 20 项已是 $2^{19} = 524288$ 。复利越滚越多的曲线，正是等比增长。

一张纸折 42 次

纸厚 0.1 毫米，每折一次厚度翻倍：折 42 次后厚 $0.1 \times 2^{42}$ 毫米，约 $4.4 \times 10^{11}$ 毫米——合 44 万公里，超过地球到月球的 38 万公里。纸当然折不动 42 次，但数字真敢涨。

求和符号 Σ 的读法

大写希腊字母 Σ（西格玛）是「全部加起来」的缩写：

$\sum_{k=1}^{100} k = 1 + 2 + \cdots + 100 = 5050$

读作「把 k 从 1 取到 100，逐个加起来」。k 叫求和指标，底下是起点，顶上是终点。再读一个： $\sum_{k=1}^{5} k^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$ 。还有越加越「够不着」的： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ 一直逼近 2 却总差一点——无穷数列的故事，极限一课接着讲。

动手检验

随堂小测

1. 等差数列 5, 9, 13, … 的第 20 项是多少？
2. 1 + 2 + 3 + … + 100 等于多少？
3. 数列 2, 6, 18, 54, … 的规律是？