极限入门 · MathLumo

两千多年前，庄子写道：「一尺之棰，日取其半，万世不竭。」一根木棍每天截去一半，永远截不完；希腊的芝诺用它为难路人：先走一半，再走剩下的一半，如此无穷——你到底能不能走到门口？把这个故事算成数学，就遇到了极限。

无穷步，有限和

把每天截走的长度加起来：

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$

到第 $n$ 天，截走的总长是 $1 - \frac{1}{2^n}$ ：与 1 的距离恰好等于剩下那一小段。段越截越短，和就越来越接近 1，而且永远不会超过 1。这个「被无限逼近」的目标值 1，就是这串加法的极限——虽然一步都停不下来，终点却清清楚楚。

极限：函数奔向的值

极限不只属于数列，也属于函数。看这个函数（ $x = 2$ 处分母为 0，根本没有定义）：

$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

列表观察：从两边逼近 2

$x = 1.9$ 时 $f(x) = 3.9$ ； $x = 1.99$ 时 $f(x) = 3.99$ ； $x = 1.999$ 时 $f(x) = 3.999$ ；
$x = 2.1$ 时 $f(x) = 4.1$ ； $x = 2.01$ 时 $f(x) = 4.01$ ； $x = 2.001$ 时 $f(x) = 4.001$ 。

左边、右边都奔向 4，于是 $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ 。原因： $x \neq 2$ 时 $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ ，而 $x$ 逼近 2 时 $x + 2$ 逼近 4。

关键一句话：极限描述函数「奔向哪里」，不要求函数真的到达—— $f(2)$ 甚至不存在，极限照样存在。「代入求值」和「求极限」是两回事。

单侧极限，一句话版

从左边逼近记作 $x \to 2^-$ ，从右边记作 $x \to 2^+$ ；只有左右两边的极限相等，整个极限才存在。上面的函数两边都是 4，所以极限是 4。

逼近实验台

极限是微积分的心脏。导数入门里切线的斜率，就是这样定义的：割线斜率随着 $h$ 缩小而逼近某个值，那个极限值就是切线斜率。拖动滑块把 $h$ 一路调小，亲眼看割线贴向切线——你正在见证一个极限发生：

互动演示逼近实验台

切点 x₀0.5步长 h1.5

割线斜率

2.500

切线斜率

1.000

把 h 拖到接近 0，割线就越来越贴近切线——这就是导数。

为什么 0.999… = 1

设 $x = 0.999\cdots$ ，那么 $10x = 9.999\cdots$ 。两式相减，无限循环的部分恰好抵消： $10x - x = 9$ ，所以 $x = 1$ 。用极限的语言说： $0.999\cdots$ 与 1 的差距是 $0.000\cdots$ ——一个每一位都是 0 的小数，差距为 0，两个数就是同一个数。所以 $0.999\cdots = 1$ 不是「差不多」，而是精确的等式。

求极限的小流程

先直接代入试试；代不进去（比如 $\frac{0}{0}$ ）时先化简——因式分解、约分、通分——把「坏点」约掉，再看化简后的式子逼近什么。

动手检验

随堂小测

1. 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 无限加下去，和是多少？
2. lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2) 等于多少？
3. 0.999…（9 无限循环）与 1 的关系是？