导数入门 · MathLumo

骑车下一段山路：有的地方陡得捏刹车，有的地方几乎不用蹬。这段路的「坡度」不是一个数，而是一路变化的。怎么说出「此刻有多陡」？这正是导数要回答的问题。

直线只有一种坡度

直线很讲信用：不管站在哪一点，往前走一步、往上爬的量都按同样的比例，所以一个斜率就能描述整条线，见直线方程。

曲线没有这份待遇。抛物线 $y = x^2$ 左边越来越缓、右边越来越陡，问「它的斜率是多少」没有意义——必须先问「在哪一点」。

先算平均坡度，再逼近那一刻

一步到位太难，先退一步。在曲线上取两个点，用直线连起来，这条线叫割线。它的斜率等于纵向变化除以横向前进：

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

这是两点之间的平均坡度——和速度与运动里的平均速度是同一个思想：位置曲线两点连线的斜率，就是那段时间的平均速度。

魔法在下一步：固定一个点，让另一个点沿着曲线滑过来。 $h$ 越缩越小，割线的斜率也越来越接近一个确定的值；两点几乎重合时，割线变成了切线——稳稳贴着曲线，它的斜率就是曲线在这一点的真实坡度。

互动演示割线逼近切线

切点 x₀0.5步长 h1.5

割线斜率

2.500

切线斜率

1.000

把 h 拖到接近 0，割线就越来越贴近切线——这就是导数。

算一算：看着斜率安定下来

对 $f(x) = x^2$ ，从 $x = 1$ 到距离为 $h$ 的点算割线斜率： $h = 1$ 时得 $(4-1) \div 1 = 3$ ； $h = 0.1$ 时得 $2.1$ ； $h = 0.01$ 时得 $2.01$ ……一路奔向 $2$ 。所以曲线在 $x = 1$ 处的坡度就是 $2$ 。

「每一点的坡度」自己也是个函数，记作 $f'(x)$ ，读作「f 一撇」，名字叫导数。

f 一撇是什么

$f'(x)$ 是个新函数：输入位置 $x$ ，输出曲线在该点的坡度。把 $f$ 变成 $f'$ ，就像把「里程表」变成「速度表」。

用 x² 检验一下

对 $f(x) = x^2$ ，微积分的结果是 $f'(x) = 2x$ 。验证一下：

在 $x = 1$ 处，坡度 $f'(1) = 2$ ；
在 $x = 2$ 处，坡度 $f'(2) = 4$ 。

抛物线右侧确实越来越陡，坡度从 2 涨到 4——对得上。再抽查一段平均坡度： $x = 2$ 与 $x = 4$ 之间， $\frac{16-4}{4-2} = 6$ ，正好落在两端切线斜率 4 和 8 之间，逻辑自洽。

导数有什么用

导数是变化的「速度计」：

位置对时间求导，得到速度——车速表上的数字，本质是位置的导数；
人口、体温、销售额对时间求导，得到涨落的快慢；
工程师用它找最大和最小：坡度由正转负的地方，就是山顶。

整个微积分都建立在这一个动作上：把「平均」逼成「瞬时」。

动手检验

随堂小测

1. f(x) = x² 的导数是 f'(x) = 2x。曲线在 x = 3 处的坡度是多少？
2. 对 f(x) = x²，连接 x = 1 和 x = 2 两点的割线斜率是多少？
3. 把「位置随时间变化」的曲线求导，得到的是？