🧺积分入门

导数入门把函数越切越细，去看每一点的坡度；积分反过来——把无数小片加回一个整体。怎么让「无限多个小片」加出一个确定的答案？靠的正是极限入门里「无限逼近」的思想。

把面积切成细条

求曲线 $y = x$ 下方、从 0 到 2 的面积。它是个三角形：底 2、高 2，面积 $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。

就算不认识三角形面积公式，也能切条逼近：

无限细分、再全部加起来——这套动作的正式名字就是积分。

∫ 号与「反导数」

积分号 $\int$ 是一个拉长的 S，提醒你它的本义是求和。它最常见的用法是问：谁的导数是我手里这个函数？

$\int 2x \, dx = x^2 + C$

因为 $(x^2)' = 2x$，所以 2x 的积分是 $x^2$。积分就是导数的逆运算：求导拆开的，积分装回去。多出来的 $C$ 叫积分常数——$x^2 + 5$ 和 $x^2 - 3$ 求导都是 2x，装回去时差额由 C 记账。

定积分：带上上下限

在积分号上下写明范围，答案就从一个函数族变成一个确定的数：

$\int_0^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{4}{2} - 0 = 2$

正好是第一节的三角形面积！带上范围的叫定积分（得一个数，常常就是面积或总量）；不带范围的叫不定积分（得一族函数，末尾挂着 C）。

积分有什么用

• 从速度算路程：匀速 30 km/h 开 2 小时，速度-时间图下是矩形，面积 $30 \times 2 = 60$ km——图下的面积就是走过的路程；速度变化时也一样，只是矩形换成了曲边图形；
• 从流量算总量：水以 5 升/分钟流入，10 分钟进 50 升；流量忽大忽小时，把每一小段的流入量加起来，还是积分；
• 电表走字、曲线下的概率……凡「变化的东西要累加」，背后都是积分。

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随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. 曲线 y = x 下方、从 0 到 2 的图形是个三角形，面积是多少？

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2. 2. 哪个函数求导会得到 2x？

   x² + C½x² + C2x + C

3. 3. 以 30 km/h 匀速行驶 2 小时，速度图下的面积（即路程）是多少？

   15 km30 km60 km