🧗导数法则

上一课为了求一条曲线的坡度，我们搬出了割线、逼近、极限，好一顿操作。要是每次求导都重来一遍，微积分就成了苦力活。好消息是：那套流程只需要辛苦一次——数学家把结果总结成了几条短短的求导法则，从此大多数导数，扫一眼就能写下来。

常数的坡度是零

水平线上走再远，高度也不变，所以常数的导数是零：

$\frac{d}{dx} \, 7 = 0$

别小看这个 0：它意味着一串加项里的常数在求导时直接退场，留下来的都是真正在变化的部分。

幂法则：把指数搬下来

对 $f(x) = x^n$，导数是

$f'(x) = n \, x^{n-1}$

口诀只有两句：把指数搬下来当系数，再把指数减去一。比如 $f(x) = x^3$：

$f'(x) = 3x^2$

法则预言，这条曲线在 $x = 1$ 处的坡度是 $3 \times 1^2 = 3$。空口无凭，用上一课的割线验一验。

切点 x₀0.5步长 h1.5

割线斜率

2.500

切线斜率

1.000

把 h 拖到接近 0，割线就越来越贴近切线——这就是导数。

指数也不必是整数：$\sqrt{x} = x^{1/2}$ 的导数是 $\frac{1}{2}x^{-1/2}$，分数指数的游戏规则见指数。

倍乘与相加，导数很讲理

还有两条轻松的规则：

• 常数倍：曲线整体放大几倍，坡度也放大几倍。$f(x) = 5x^2$ 的导数是 $f'(x) = 10x$——5 留在外面不动，只对 $x^2$ 用幂法则；
• 求和：和的导数等于导数的和，逐项分开求即可，谁也不用管谁。

组合起来：一次实战

把法则叠在一起，求 $f(x) = x^2 + 3x$ 的导数：

• $x^2$ 求导得 $2x$；
• $3x$ 求导得 $3 \times 1 = 3$——$x$ 就是 $x^1$，指数 1 搬下来后剩下 $x^0 = 1$。

所以

$f'(x) = 2x + 3$

导数自己还是个函数：$x = 0$ 处坡度是 3，$x = -1$ 处坡度是 1；坡度变成 0 的位置是 $x = -\frac{3}{2}$，而那正是这条抛物线的最低点。法则一出手，连谷底在哪儿都顺带交代了。

这些法则每一条都先用极限认真证过一次，此后永远免验使用。先在导数入门里辛苦一回，换来此后所有的 $x^n$ 秒出答案——数学里到处是这种「证明一次、终身免费」的买卖。

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. f(x) = x⁵ 的导数是？

   5x⁴x⁴4x⁵

2. 2. 常数 9 的导数是多少？

   910

3. 3. f(x) = x² + 4x 的导数是？

   x + 42x + 42x + 4x