极值与最优化

会求导之后，最自然的问题冒了出来：函数在哪里最高、哪里最低？篱笆围出最大面积、定价定出最高利润，本质都是找「峰」。微积分把找峰变成一套流程：求导、找零、看符号——三步走完，峰谷现形。

驻点：导数为零的地方

爬上山顶那一刻，脚下既不上也不下——坡度为 0。函数的峰顶、谷底同理：切线水平，导数为零。 $f'(x) = 0$ 的解叫驻点。注意它只是候选名单：峰顶谷底必然在名单上，但名单上的人未必是峰谷（也可能是平平的一段路）。一个函数还可以有好几个驻点——像起伏的山路，好几个山头和洼地——这套流程要对每个候选各跑一遍。所以第一步永远是解方程 $f'(x) = 0$ ，把候选人叫来。

用符号判断峰和谷

驻点两侧导数的符号，说出它的身份：

左正右负：先上后下，极大值点（峰顶）；
左负右正：先下后上，极小值点（谷底）；
两侧同号：一路平过，既非峰也非谷。

互动演示坡度翻号观察台

切点 x₀0.5步长 h1.5

割线斜率

2.500

切线斜率

1.000

把 h 拖到接近 0，割线就越来越贴近切线——这就是导数。

把 $x_0$ 拖向 0，看这条抛物线的坡度从负翻成正、在谷底恰好归零——左负右正，标准的极小值。任何函数的峰谷都服从同一套「符号翻转让位」的规矩。

两个实战

两道例题，一题几何、一题生意，流程完全相同。

20 米篱笆围出最大面积

20 米篱笆围一个长方形，设宽为 $x$ ，长就是 $10 - x$ ，面积

$A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$

求导： $A'(x) = 10 - 2x$ 。令它为零， $x = 5$ 。验符号： $x = 3$ 时 $A' = 4 > 0$ （还在涨）， $x = 7$ 时 $A' = -4 < 0$ （已经跌）——左正右负，峰顶无疑。此时长也是 5，最大面积 $5 \times 5 = 25$ 平方米：正方形胜出。

定价定出最高利润

每件成本 10 元，定价 $p$ 元时能卖 $(100 - p)$ 件，利润

$P(p) = (p - 10)(100 - p) = -p^2 + 110p - 1000$

求导： $P'(p) = -2p + 110$ ，为零时 $p = 55$ 。验符号： $p = 50$ 时 $P' = 10 > 0$ ， $p = 60$ 时 $P' = -10 < 0$ ——又是左正右负的峰。定价 55 元、卖出 45 件，利润 $45 \times 45 = 2025$ 元。

别忘了端点

若定义域有限，最值还可能藏在端点——那里只「单侧有坡」，导数不必为零。现实中的定义域常常自带边界：篱笆的宽不能是负数，定价不能低于成本——先把边界写清楚，端点检查才有的放矢。两道例题都顺手查过：篱笆问题的端点 $x = 0$ 和 $x = 10$ 面积为 0，定价问题的 $p = 10$ （白干）和 $p = 100$ （无人买）利润为 0，都远不如内部的 25 和 2025。完整流程是三步加一查：解 $f'(x) = 0$ 、验符号、比端点。抛物线的峰谷画在图上一目了然，见二次函数的图像；求导的流程来自导数入门，法则速查在导数法则；顺流而下的下一站是积分。

动手检验

随堂小测

1. 某点左侧 f′ 为正、右侧为负，这个点是？
2. A(x) = 10x − x² 的导数是？
3. 驻点一定是极大或极小值点吗？