二次函数图像

篮球出手之后，走的既不是直线也不是圆弧，而是一条先升后降的优美曲线——抛物线。喷泉的水柱、大桥的拱都带着它的影子。这条曲线背后，站着一个再朴素不过的函数：

$y = ax^2 + bx + c$

先描一条最基本的抛物线

从最简单的 $y = x^2$ 开始，列个表描点（在笛卡尔坐标里画）：

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = x^2$	4	1	0	1	4

把点连起来，一条碗状的曲线出现了。注意它的对称： $x = -2$ 和 $x = 2$ 撞出同一个 $y$ ——平方把负号吃掉了。最低点 $(0, 0)$ 叫顶点；把曲线分成左右镜像的那条竖直线叫对称轴。

开口方向看 a

$a > 0$ ：开口向上，像个碗，顶点是最低点；
$a < 0$ ：开口向下，像把伞，顶点是最高点。

$|a|$ 还管胖瘦： $y = 2x^2$ 在 $x = 1$ 就爬到 2，比 $y = x^2$ 陡，显得瘦； $y = 0.5x^2$ 爬得慢，显得胖。若 $a = 0$ ，平方项消失，只剩 $y = bx + c$ ——抛物线躺平成直线方程。可见 $a$ 是抛物线的灵魂。

对称轴与顶点

一般式的对称轴是一条竖线：

$x = -\frac{b}{2a}$

顶点就坐在这条线上。比如 $y = x^2 - 4x + 3$ ：对称轴 $x = -\frac{-4}{2} = 2$ ，顶点纵坐标 $4 - 8 + 3 = -1$ ，即 $(2, -1)$ 。

这公式哪来的？对称性给的。代 $x = 1$ 得 0，代 $x = 3$ 也得 0——两个等高的点必须关于对称轴对称，中点 $\frac{1+3}{2} = 2$ 正是它。

负号别丢

$x = -\frac{b}{2a}$ 开头的负号最容易丢。 $y = x^2 - 4x + 3$ 里 $b = -4$ ，于是 $-\frac{-4}{2} = 2$ ——负负得正，对称轴落在正半轴。

判别式数交点

抛物线与 x 轴的交点个数，由判别式 $b^2 - 4ac$ 一锤定音：

$b^2 - 4ac > 0$ ：两个交点；
$b^2 - 4ac = 0$ ：恰好一个——顶点稳稳贴在 x 轴上；
$b^2 - 4ac < 0$ ：没有交点。

$y = x^2 - 1$ 的判别式 $0 + 4 = 4 > 0$ ，交点在 $x = \pm 1$ ； $y = x^2$ 是 0，一个； $y = x^2 + 1$ 是 $-4 < 0$ ——最低点也离地 1，永远够不着 x 轴。交点的横坐标就是让 $y = 0$ 的 $x$ ，也就是二次方程的解。

完整画一条抛物线

画 $y = x^2 - 2x - 3$ ：对称轴 $x = \frac{2}{2} = 1$ ，顶点 $(1, -4)$ ；判别式 $4 + 12 = 16 > 0$ ，两个交点。描点： $x = -1$ 得 0， $x = 0$ 得 $-3$ ， $x = 3$ 得 0。曲线从 $(-1, 0)$ 下探到 $(1, -4)$ ，再爬回 $(3, 0)$ ——顶点、对称轴、交点全部对上。

篮球何时最高

抛出的小球高度约 $h = -5t^2 + 20t$ （米）。 $a = -5 < 0$ ，开口向下。最高点在对称轴 $t = \frac{20}{10} = 2$ 秒处， $h = -20 + 40 = 20$ 米。判别式 $400 > 0$ ，两个零点： $t = 0$ 出手， $t = 4$ 落地。读出顶点，「何时最高、最高多高」一并回答。

动手检验

随堂小测

1. y = −3x² 的开口方向是？
2. y = x² − 6x + 5 的对称轴是？
3. y = x² + 2x + 5 与 x 轴有几个交点？