🪄乘法公式

有人能把 $35^2$ 一口报出 1225，靠的不是心算神功，而是几条背熟的「乘法公式」：把 35 拆成 $30 + 5$，套公式三步出答案。今天就把最常用的两条请进家门。

最经典的坑

先做个实验：$(3+4)^2$ 和 $3^2 + 4^2$ 一样吗？前者是 $7^2 = 49$，后者只有 $9 + 16 = 25$——差了整整 24。把平方「分发给」括号里的每一项，是学展开括号时最顽固的误会。

老老实实按「每个都配每个」展开：

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

中间那项 $2ab$，正是 25 和 49 之间差距的来源（$2 \times 3 \times 4 = 24$）。把 $b$ 换成 $-b$，就得到第二条：

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

比如 $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$，中间项带着负号，照样不许丢。

面积拼图看懂 2ab

公式不必死背。画一个边长 $(a+b)$ 的大正方形，横竖各切一刀，分成四块：两块正方形 $a^2$ 和 $b^2$，两块一样大的长方形 $ab$。四块面积相加 $a^2 + ab + ab + b^2$，正是公式右边。

用数字试：$a = 3$、$b = 4$，四块是 9、12、12、16，合计 $49 = 7^2$。两个 12 就是 $2ab$。在下面的方格盘上把宽和高都调成 7，数出 49 个小格，再想象那两刀——这套拼图对任何 $a$、$b$ 都成立。

长方形三角形

宽 w5高 h4

面积 = 长 × 宽=5 × 4 = 20个单位方格

剪补出来的平方差

第三条公式更妙：$(a+b)(a-b)$。展开是 $a^2 + ab - ab - b^2$，中间两项正负抵消，剩下

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

从面积看：边长 $a$ 的正方形剪掉边长 $b$ 的角，剩下 $a^2 - b^2$ 的 L 形；把竖条搬个家、拼到横条旁边，正好变成一个 $(a+b) \times (a-b)$ 的长方形——剪一块补一块，面积没变。

它还是速算神器：$42 \times 38 = (40+2)(40-2) = 1600 - 4 = 1596$。

用公式，也验公式

公式也能倒着走：看到 $x^2 + 6x + 9$，认出它是 $(x+3)^2$——这就已经是因式分解的活了。

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. (x + 4)² 展开是多少？

   x² + 16x² + 8x + 16x² + 4x + 16

2. 2. (x + 7)(x − 7) 展开是多少？

   x² − 49x² − 14x + 49x² + 49

3. 3. 用平方差口算 43 × 37，结果是？

   159115961609