公式与变形

$C = 2\pi r$ 、 $A = \frac{1}{2}bh$ ……这样的式子叫公式：把一批问题反复用到的关系提前写好，装进口袋随时取用。公式有两件常做的事：代入——照着配方做菜；变形——把配方反过来用。

公式是配方

每个公式都是一张配料表：

字母只是配料的代号。配方固定，换原料就出不同的菜——这就是公式一劳永逸的原因。

求底 8 cm、高 5 cm 的三角形面积，把数填进配方：

$A = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \ \mathrm{cm^2}$

替换、计算、写单位，三步走完。这套动作在代入求值里已经练熟。

公式常被反过来问：知道路程 $d$ 和速度 $v$ ，时间 $t$ 是多少？这时要把 $t$ 单独留在等号一边，让别的全站到对面去。工具是天平：等式两边同时做同一件事，天平就不斜。

从 $d = vt$ 解出 $t$ ：两边同除以 $v$ ，右边只剩 $t$ ：

$t = \frac{d}{v}$

同样，从 $C = 2\pi r$ 解出半径：两边同除以 $2\pi$ ：

$r = \frac{C}{2\pi}$

想请谁当主角，就把谁单独留在等号一边——仅此而已。

天平不斜，两边同步

等式就是天平：左边除以 $v$ ，右边也得除以 $v$ ；只动一边，天平立刻歪。变形的全部纪律就这一条。等这手练熟了，更难的关卡在解一元一次方程等着。

变形最容易想反，好在验货也最便宜：随便代个数，正着走一圈，再倒着走回来。取 $r = 2$ ，周长 $C = 2\pi \times 2 = 4\pi$ ；把 $4\pi$ 塞进变形后的公式：

$r = \frac{4\pi}{2\pi} = 2$

绕一圈回到 2，变形没有错。路程那个也一样： $d = 100$ 、 $v = 20$ 时 $t = 100 \div 20 = 5$ ，验一验 $20 \times 5 = 100$ ——正着倒着都通，公式才算真正拿下。

互动演示公式变形器

机器里藏了一条规则，输入几个数试试，猜猜它是什么？

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输出

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把公式想成一台机器：正着喂是代入，倒着想就是变形。知道输出、反推输入，正是这台机器最拿手的游戏。