数列与规律

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13……下一行写什么？数学家最爱的游戏之一，就是从一串数里揪出隐藏的规则。这种按规律排队的数叫数列，其中每个数叫一项。规则一旦被你识破，第 10 项、第 100 项，全都逃不出你的预言。

相邻两项的秘密

最直接的找法：盯着相邻两项，问「从上一个数到下一个数，做了什么？」

规则可以相加，可以相乘，还可以轮流值班——所以先多看几项再下结论。

多看几项再下结论

1, 2, 4, 8 看着是「每次乘 2」，下一项该是 16。可如果接着写下去是 31 呢？那是「圆上取点分区域」数列的开头。给几项就用几项验证，别急着押注。

互动演示规律发现机

机器里藏了一条规则，输入几个数试试，猜猜它是什么？

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输出

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这台机器是藏规则的专业户：喂一个数，吐一个数，规则由它保密，猜中算你赢。数列也一样——输入「第几项」，输出「那一项的值」，中间那台看不见的机器，就是规律。

「每次加 3」固然能用，可要第 100 项，就得一路加 99 次。更聪明的问法：第 n 项能不能用 n 直接算出来？

$n$	1	2	3	4	5
第 $n$ 项	4	7	10	13	16

这张表的规则是「每次加 3」，也可以写成 $4 + 3 \times (n-1)$ ，展开就是 $3n + 1$ 。验证两个值： $n = 1$ 得 4， $n = 4$ 得 13，全对上。于是第 100 项一步到位： $3 \times 100 + 1 = 301$ 。

常见的「位置到项」公式还有一窝：

验证公式，代两个数

猜出第 n 项的公式后，至少代两个 n 检查： $3n + 1$ 在 $n = 1$ 时给 4， $n = 4$ 时给 13，两处都吻合才敢放心用。一个值吻合可能是巧合，两个值吻合基本就是它了。

每一项都比前一项多同一个数，这样的数列叫等差数列，这个固定的差叫公差。4, 7, 10, 13……公差是 3。

求第 n 项有个通用配方：首项 + (n − 1) × 公差。上面这个数列的第 10 项：

$4 + 9 \times 3 = 31$

从第 1 项到第 10 项只需迈 9 步——不是 10 步，这是最容易踩的坑。

规律不一定藏在加减乘除里，有时藏在形状里，有时藏在你的嘴巴里。想亲手喂机器猜规则，去变量与函数机玩个痛快。