🗂️矩阵初步

一堆数据排成行和列，就是矩阵——一张规规矩矩的数字表格。屏幕上的像素、联赛积分榜、三个班的成绩单，都是矩阵的亲戚。别小看表格：它自己会做算术，还能一口气搬动整个图形。

表格的加法与数乘

两个同样形状的矩阵相加，规则朴素到不用记：对应位置分别相加。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

数乘也逐格进行：$2 \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$。形状不同的矩阵不能相加——位置都对不上号。

行乘列：真正的重头戏

联立方程的系数排成矩阵，是它的老搭档；而矩阵乘法本身不逐格做，规则是行乘列：结果中第 i 行第 j 列的数 = 左矩阵的第 i 行与右矩阵的第 j 列，对应相乘再求和。看例子：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 & 1\cdot1 + 2\cdot0 \\ 0\cdot1 + 1\cdot2 & 0\cdot1 + 1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

左上角的 5 是这么来的：第一行 $(1, 2)$ 遇上第一列 $(1, 2)$，$1\times1 + 2\times2 = 5$。其余三格照方抓药。

顺序很重要

数的乘法里 $3 \times 4 = 4 \times 3$，矩阵没有这份自由。把上面两个矩阵调换顺序：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

先前的结果是 $\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$，这次成了 $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$——顺序一换，答案全换。$AB = BA$ 在矩阵世界一般不成立。

用矩阵搬动图形

行乘列的怪规矩，在几何里现出原意。在坐标系里把点 $(x, y)$ 竖着写成一列，让矩阵从左边乘上去：

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$

新点是 $(-y, x)$——这正是绕原点逆时针旋转 90°。试两个点：$(1, 0)$ 指向正东，转到 $(0, 1)$ 正北；$(2, 3)$ 转到 $(-3, 2)$。

一个矩阵配上一句「乘我」，就是一条几何指令。旋转之外还有反射、拉伸……变换一课里的花样，矩阵都接得住。

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. [1,2,3,4] 加 [5,6,7,8]（两行两列，按行排列）等于？

   [6,8,10,12][19,22,43,50][6,8,10,10]

2. 2. 矩阵乘法满足 AB = BA 吗？

   总满足，和数的乘法一样一般不满足，顺序很关键只在矩阵很大时满足

3. 3. 用旋转矩阵把点 (2, 1) 逆时针转 90°，得到？

   (-1, 2)(1, -2)(1, 2)