平方与立方

边长 5 米的正方形房间，铺满地砖要几块？一行 5 块、铺 5 行， $5 \times 5 = 25$ 块。「自己乘自己」这个动作太常用，数学专门给它起了名字：平方。

平方：正方形的面积

面积课数过方格：边长为 $a$ 的正方形面积是 $a \times a$ ，记作 $a^2$ ，读作「a 的平方」。平方其实是指数家族里最常用的一员： $a^2$ 就是「两个 a 相乘」。

前 12 个平方数值得背下来：

$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$

它们是 $1^2$ 到 $12^2$ 。眼熟它们有个红利：一眼认出完全平方数。相邻平方数的差还全是奇数： $7^2 = 49$ ， $8^2 = 49 + 15 = 64$ ——差恰好是 $7 + 8 = 15$ 。

互动演示平方速算

7 × 7 = ?

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把平方搬进三维：棱长为 $a$ 的正方体体积是 $a \times a \times a$ ，记作 $a^3$ ，读作「a 的立方」。

$2^3 = 8, \quad 3^3 = 27, \quad 4^3 = 64, \quad 5^3 = 125$

小方块自己也能数出来： $5^3$ 就是一层摆 $5 \times 5 = 25$ 块、叠 5 层。顺带一提， $64$ 既是 $8^2$ 又是 $4^3$ ——既是完全平方又是完全立方的数非常少见。

平方把边长变成面积；反过来，由面积找边长就是平方根： $\sqrt{144} = 12$ ，因为 $12^2 = 144$ 。那个符号叫根号（ $\sqrt{\phantom{00}}$ 的样子）。

立方也有逆运算——立方根： $\sqrt[3]{125} = 5$ ，因为 $5^3 = 125$ 。

乘法表的对角线

平方数就藏在乘法表的对角线上：1×1、2×2、3×3……沿对角线排开，几乎不用额外背。拿不准某个数是不是完全平方数时，列一列它的因数与倍数也能帮忙。