🧱因数与倍数

搭积木时你会问两个问题：这块积木由哪几块小块拼成？它自己又能拼出哪些更大的形状？整数也一样：每个数都有一群因数，也活在无穷的倍数家族里。

因数：能整除的搭档

若 $a \times b = 12$，那么 $a$ 和 $b$ 都是 12 的因数。把 12 的乘法式子列全：

$12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$

所以 12 的因数是 $1, 2, 3, 4, 6, 12$，共 6 个。因数总是成对出现：找到 2 就顺带找到 6，找到 3 就顺带找到 4。想列全一个数的因数，从 1 开始逐个试除、成对记录就行。

倍数：乘法表上的数

12 的倍数就是 12 的乘法表：$12, 24, 36, 48, \ldots$ 数不到头。

乘法造出倍数，除法检验因数——这对概念正是一对逆运算的两面。

公共的因数，公共的倍数

两个数的因数集合、倍数队伍会有交集，交集里的成员特别有用：

• 12 的因数：1, 2, 3, 4, 6, 12；18 的因数：1, 2, 3, 6, 9, 18。公共的是 1, 2, 3, 6，其中最大的 6 叫最大公因数。要把分别 12 人、18 人的两个班分成人数相同的小组，每组人数必须是 12 和 18 的公因数；
• 4 的倍数：4, 8, 12, 16, …；6 的倍数：6, 12, 18, …。最早一起出现的是 12，叫最小公倍数。一件事每 4 天发生一次、另一件每 6 天一次，下次同日就是 12 天后。

整除的捷径

不用真除，看数字的长相就能判断：

• 2：末位是 0, 2, 4, 6, 8；
• 5：末位是 0 或 5；
• 10：末位是 0；
• 3：各位数字之和是 3 的倍数。比如 234：$2+3+4=9$，所以 234 能被 3 整除；
• 9：数字和是 9 的倍数。比如 738：$7+3+8=18$，18 是 9 的倍数，738 也就是。

一个数若只有 1 和它自己两个因数，它就是质数——因数世界里不可再分的零件。拿下面的检测器查查你想到的数：

❌ 60 不是质数

质因数分解：60 = 2² × 3 × 5

不超过 60 的质数

235711131719232931374143475359…

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. 哪一组正好是 12 的全部因数？

   1, 2, 3, 4, 6, 121, 2, 4, 8, 122, 3, 5, 6, 12

2. 2. 12 和 18 的最大公因数是？

   2636

3. 3. 4 和 6 的最小公倍数是？

   24122