质数 · MathLumo

把 12 颗糖摆成长方形，可以 3×4，也可以 2×6。但 7 颗糖呢？只能孤零零排一排——因为没有哪个数能整除它。

这种「排不成矩形」的数叫质数。它们是整数世界的原子：所有别的数，都由质数相乘拼出来。

恰好两个因数

一个数的因数，就是能整除它的数。12 的因数有 1、2、3、4、6、12，一共 6 个；而 7 只有 1 和 7——恰好两个，这就是质数的定义：

因数总是成对出现： $12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$ 。找因数时配到中间就停——这也是后面判断质数能「提前收工」的原因。

输入一个数，看看它能不能通过检验：

互动演示质数检查器

❌ 60 不是质数

质因数分解：60 = 2² × 3 × 5

不超过 60 的质数

235711131719232931374143475359…

1 的因数只有它自己，只有一个。质数必须恰好两个，所以 1 既不是质数，也不是合数。这不是抠字眼：正因为 1 不算，每个数的质因数分解才是唯一的（把 1 算进去，12 可以写成 2×2×3、1×2×2×3、1×1×2×2×3……就没完没了了）。

顺带一个冷知识：2 是唯一的偶质数。其他偶数都至少有 1、2 和自己三个因数。

快速判断

想知道 n 是不是质数，拿 2、3、5、7…这些质数去试除，除到 $\sqrt{n}$ 还没除开，它就是质数。比如 97： $\sqrt{97}$ 不到 10，试 2、3、5、7 全都除不开，97 是质数。

把一个数写成质数相乘的形式，叫质因数分解。方法是一路往下拆，直到全是质数：

$60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$

先拆 6×10 还是先拆 2×30 都没关系，拆到底同样是 $2 \times 2 \times 3 \times 5$ ——路线不同，终点相同。这正是「1 不算质数」的回报：分解式独一无二。合数是拼好的积木作品，质数就是盒子里那堆基础积木。

两千多年前，欧几里得就证明了质数有无穷多个，思路漂亮得像魔术：把已知的质数全乘起来再加 1，比如 $2 \times 3 \times 5 \times 7 + 1 = 211$ 。这个新数除不开之前任何一个质数——要么它自己是质数，要么它的质因数是一张新面孔。所以质数永远数不完。

今天，质数在密码学里看家护院：网上支付的安全，靠的就是「两个大质数相乘容易，把乘积拆回两个质数极难」。

质数还有个迷人的特点：它们的出现毫无节奏。11 和 13 挨着（这样的对叫孪生质数），23 到下一个质数 29 却隔着 5 个数，89 到 97 更是隔着 7 个。它们像是随机撒出来的——却又是被严格定义好的。