🎰期望值

游园会有个摊位：掷骰子，掷出 6 点奖 6 元，其他点数一文没有。玩一次，你「可能」赚 6 元；可要是玩上一整个下午呢？平均每次到底值多少钱？这个问题有精确的答案，叫期望值。

把概率当权重

掷一颗均匀骰子，点数的期望是 $(1+2+3+4+5+6) \div 6 = 3.5$。标准算法是把每种结果乘上它的概率，再全部加起来：

$1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

概率大的结果话语权大——这正是平均数、中位数与众数里加权平均的思路，只是权重换成了概率。注意：骰子没有 3.5 的面，3.5 不是某一次的结果，而是长期平均会靠拢的值。

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正面占比

抛一次抛 100 次抛 1000 次↺

抛得越多，正面占比越接近 50% —— 这就是大数定律。

用它想最简单的赌局：正面赢 1 元，反面输 1 元。期望 $= 1 \times \frac{1}{2} + (-1) \times \frac{1}{2} = 0$，输赢各半，这样的游戏叫「公平游戏」。先抛 10 次，正面比例可能七上八下；抛到 1000 次，比例就贴着 50% 走——期望不是单次的承诺，而是大数定律兑现的长期平均。

算一个抽奖的期望

期望不是单次结果

买一张券，你永远拿不到「2 元」：要么 100，要么 25，要么 0。期望是加权平均出来的「平均水平」，不是某一次的保证——单次结果可以离期望十万八千里。但次数一多，平均值会越来越贴近期望：抛硬币实验里，1000 次之后的正面比例已经懒得离开 50% 了。赌一次靠运气，赌一万次靠期望。

为什么庄家稳赚

赌场里每个游戏的期望对玩家都是负的。拿轮盘说：欧式轮盘 37 格，18 红、18 黑、1 格 0。押 1 元红色，赢的概率 $\frac{18}{37}$、输的概率 $\frac{19}{37}$，期望为

$1 \times \frac{18}{37} + (-1) \times \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$

每押 1 元平均只输不到 3 分钱，看着不起眼？玩家千千万、押注亿万次，每一元都被抽走约 2.7 分，庄家睡得很香。抽奖的 −1 元也好，轮盘的 −0.027 元也好，道理相同：**期望为负时，玩得越久，输得越准时。**想继续玩概率，去概率入门；组合事件在复合概率与树图里等着。

动手检验

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随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. 均匀骰子掷一次，点数的期望是？

   3.534

2. 2. 10 张签里 1 张奖 9 元，其余空签，免费抽一次的期望奖金是？

   0.9 元9 元4.5 元

3. 3. 某游戏每玩一次的期望是 −0.5 元，玩 1000 次大约会？

   亏 500 元左右不赚不亏赚 500 元左右