🎲标准差

两位同学五次测验都平均 70 分，水平一样吗？甲是 68、69、70、71、72，乙是 50、60、70、80、90。平均数一模一样，脾气天差地别：甲稳，乙像坐过山车。要描述这种差别，平均数、中位数与众数不够用了——它们只报中心，不报散布。补上第二只眼：标准差。

平均数一样，脾气大不同

把每个数减去平均数，得到的差叫离均差。甲的离均差是 −2、−1、0、+1、+2，乙的是 −20、−10、0、+10、+20——同样的中心，偏离的幅度差了十倍。可惜离均差直接加起来永远是零：正负互相抵消，平均等于白算（甲：$-2 - 1 + 0 + 1 + 2 = 0$）。想让「偏离」存活下来，得先平方——负号消失，大小保留。

先平方，再平均，最后开方

配方只需三步：

1. 每个离均差平方；
2. 取平均，得到方差；
3. 开平方，回到标准差。

套到两人身上：

• 甲：平方是 4、1、0、1、4，和为 10，方差 $= 10 \div 5 = 2$，标准差 $= \sqrt{2} \approx 1.4$；
• 乙：平方是 400、100、0、100、400，和为 1000，方差 $= 1000 \div 5 = 200$，标准差 $= \sqrt{200} \approx 14.1$。

最后一步开方是为了还原单位：成绩的单位是分，平方之后单位也跟着平方了，标准差把单位拉回「分」。它有一句直觉定义——数据到平均数的典型距离。甲的成绩离均值通常只有 1 分上下，乙则动辄十几分。

手算一遍

+🗑 清空4865389

个数

7

平均数

6.14

中位数

6

众数

8

添几个数、删几个数，看点阵摊开多宽：点越挤，标准差越小；点越散，标准差越大。组件算的是平均数、中位数与众数，「散得多开」这一眼，正好留给刚学会的标准差。

总体、样本与钟形直觉

两个备忘。其一，计算器上常有 $\sigma$ 和 $s$ 两个键：数据是全部对象（总体）时除以 $n$；数据只是抽出来的样本时除以 $n - 1$，弥补样本天生的「偏挤」——细节以后再讲，选对键就好。其二，身高、测验分数这类数据常呈钟形堆叠：大部分挤在平均数附近，越远越稀少。标准差越大，钟形越矮胖；越小，越瘦高。对钟形数据，约七成落在均值 ±1 个标准差之内，±2 个标准差几乎全收。所以听说某群体「平均身高 170、标准差 6」，你脑中已经能画出整群人的样子。分布的形状可以到直方图里亲眼看；只用最远两端量散布的是极差；一个极端值如何拉偏平均数，见平均数的误用。

动手检验

✅

随堂小测

↺ 重做一遍

1. 1. 标准差小，说明这组数据？

   集中在平均数附近平均数一定大个数一定少

2. 2. 数据 [2, 6] 的标准差是？

   248

3. 3. 某组数据的方差是 200，标准差约是？

   14.120020