极差与波动

两条公交线路都宣称「平均晚点 5 分钟」，听起来打平？其实一条天天只晚四五分钟，另一条平时准时、动辄一口气晚半小时。只用平均数、中位数与众数里的代表值，根本看不出这个差别——我们还需要一个量，来说明数据散得有多开。

同一个平均数，两副面孔

平均数相同，性格天差地别。描述这种性格的量叫波动程度，最简单的一把尺子是极差。

极差 = 最大值 − 最小值。

甲组： $6 - 4 = 2$ ；乙组： $20 - 0 = 20$ 。乙组的极差是甲组的十倍，「不安分」立现原形。极差一把量出最远的两个端点，快，但只用到两个数——中间的数据挤还是散，它一概不知。

极差只是半份情报

极差由最远两端单独决定：它说得出「最坏能差多少」，说不出中间的大部队过得如何。要和平均数或中位数搭配着读，才不会被一个极端值带偏。

把数据从小到大排队，切成四等份。以 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$ 为例：正中间的 $8$ 是中位数；下半段的中间 $4$ 叫 Q1，上半段的中间 $12$ 叫 Q3。中间那一半数据，就住在 $Q1$ 和 $Q3$ 之间，这段距离

$IQR = Q3 - Q1 = 12 - 4 = 8$

叫做四分位距。它只看中间 50% 的数据，端点上爱怎么折腾都影响不到它。

在 $2, 3, 3, 4$ 里混进一个 $98$ ：极差从 3 跳到 $98 - 2 = 96$ ，可其余数据仍然挤在 2 到 4 之间。这种鹤立鸡群的值叫离群值——它一出手，极差就失真。这时 IQR 更靠得住：98 不在中间 50% 里，IQR 几乎不动。

这也是「公交 vs 地铁」之争的裁判：平均晚点相同时，比一比极差或 IQR，谁稳谁慌一目了然——买谁的月票，心里就有数了。

互动演示波动观察器

个数

平均数

6.14

中位数

众数

随手改数据，看柱子散开、收拢，均值线跟着跑。两个实验：把一个数拖到特别大——平均数被拽走，中位数却按兵不动，这就是离群值的威力；再把所有数挤成一团——代表值没怎么变，可「散得开」和「挤得紧」一眼可辨。极差自己动手算：最大减最小，就在你改的这堆数里。