复合概率与树图

概率入门里你已经会算一步的概率：抛一枚硬币，正面 $\frac{1}{2}$ 。可生活里的事常常连着走两步——抛两枚硬币、抽两张牌、先掷骰子再抛硬币。两步的概率怎么算？答案是先画一棵树。

树图：把岔路画出来

抛两枚硬币，每一枚都是一道岔路。画出来：

第一枚正面
- 第二枚正面 → 正正
- 第二枚反面 → 正反
第一枚反面
- 第二枚正面 → 反正
- 第二枚反面 → 反反

一共 $2 \times 2 = 4$ 条从树根到树梢的完整路径。每条路上有两次 $\frac{1}{2}$ 的选择，所以每条路径的概率都是

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

四条路径机会均等，各占四分之一——树图画完，答案已经躺在纸上了。

沿枝相乘，分岔相加

树图背后是两条口诀：

「且」就乘：想要的结果要连续通过几道关，就把各关的概率乘起来。两个正面？ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ；
「或」就加：几条互不重叠的路径都算数，就把它们的概率加起来。「至少一个正面」覆盖正正、正反、反正三条路径： $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 。

「至少一个」比直觉多

很多人觉得「至少一个正面」该是一半，因为它听起来像一件事。它在树图上却占三条路径——只有「反反」落榜。把互不重叠的路径一条条数清楚，是树图最大的功劳。

骰子加硬币

掷一颗骰子并抛一枚硬币，求「掷出 6 且正面朝上」。两步互不干扰（独立事件），沿枝相乘： $P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ 。要是问「6 或正面」呢？ $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$ ，那条同时满足两者的路径 $\frac{1}{12}$ 只能加一次。

放回，还是不放回

袋子里 2 红 1 蓝三个球，摸两次。每次摸完放回去，第二关的概率不变：两次全红是 $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ 。不放回呢？第一次摸走红球后袋里只剩 1 红 1 蓝，第二关变了：两次全红是 $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ 。树图照样能画，只是第二层的树枝换成了新的概率——画树图时永远先问一句：放回吗？

互动演示独立事件实验

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正面占比

抛得越多，正面占比越接近 50% —— 这就是大数定律。

「沿枝相乘」成立的前提是两步互不干扰。抛 100 次、1000 次看看：正面比例稳稳贴住 $\frac{1}{2}$ ——每一次抛掷都从头开始，谁也不影响谁，这正是「独立」的意思。

动手检验

随堂小测

1. 抛两枚硬币，恰好一正一反的概率是多少？
2. 掷骰子并抛硬币，「6 且正面」的概率是多少？
3. 袋中 2 红 1 蓝，不放回摸两次，两次都红的概率？