维恩图 · MathLumo

班里有人报了足球社，有人报了篮球社，还有人两头都报。名单记在两张纸上，谁被数重了、谁两边都没报，翻来翻去数不清。把两张名单画成两个圈，一切立刻清楚——这就是维恩图：用重叠的圆圈给集合「排队」的画法。收数据的第一步是问卷，见问卷调查与抽样；数据收回来怎么理，就看这一课。

交集：重叠的部分

两个圈叠在一起，中间那块公共区域叫交集——同时属于两组的成员。又喜欢足球又喜欢篮球的同学，就站在这里。

设集合 $A$ 有 20 人、集合 $B$ 有 14 人、交集里有 6 人。那么只属于 $A$ 的有 $20 - 6 = 14$ 人——先扣掉重叠的 6 人，他们才不会被数两遍。

把两个圈整个罩住的范围叫并集——至少属于一组（可能同时属于两组）的所有成员。直接把两组人数相加会把交集里的人算两遍，所以要把交集减回来：

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

代入数字： $20 + 14 - 6 = 28$ 人。减去的 6，正是把被数两遍的人只数一遍。

圈里是成员，圈外也有故事。补集指「不在集合里」的那部分。全班 40 人，喜欢数学的 26 人，那么「不喜欢数学」这部分——也就是补集——有 $40 - 26 = 14$ 人。调查里常被忽略的，恰恰是圈外的人。

足球与篮球

40 人的班里，喜欢足球的 25 人，喜欢篮球的 18 人，两个都喜欢的 10 人。只喜欢足球、只喜欢篮球、都不喜欢的各几人？

只喜欢足球： $25 - 10 = 15$ 人；只喜欢篮球： $18 - 10 = 8$ 人；中间交集还有 10 人。三块相加， $15 + 10 + 8 = 33$ 人至少喜欢一样，于是都不喜欢的是 $40 - 33 = 7$ 人。一张圆圈图，四个问题一次答完。

三个圈会怎样

换成「会游泳、会骑车、会滑冰」三个圈，圈内被切成 7 块：只属于一组的 3 块、恰好属于两组的 3 块、三组都占的 1 块， $3 + 3 + 1 = 7$ 。圈每多画一个，块数大体翻倍，所以三集合的问题要一格一格数清。这套数块功夫，正是概率入门里分组计数的底子。