圆柱、圆锥与球的体积

罐头是圆柱，冰淇淋筒是圆锥，篮球是球——它们都是圆站起来变出的立体图形。在体积里我们靠数方块量长方体，这一课把「数方块」的思路带进圆的世界。

圆柱：底面积 × 高

把圆柱切成一片片薄圆饼，每一片就是一个「底面」。底面积是 $\pi r^2$ ，一共叠 $h$ 层：

$V = \pi r^2 h$

半径 3、高 5 的圆柱： $V = \pi \times 3^2 \times 5 = 45\pi \approx 141.37$ cm³。按 1000 cm³ = 1 L 换算约 0.14 L，也就是一小杯牛奶的量。

互动演示从方块到圆柱

长 l4宽 w3高 h2

V = l × w × h = 4 × 3 × 2 = 24

底层方块

层数

数方块的老套路在这里照样好用：先铺底面，再数层数。长方体是「长 × 宽 × 层数」，圆柱只是把长方形的底换成了圆底——底面积 × 高的思想一步没变。

同底等高的圆锥，体积恰好是圆柱的三分之一：

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

倒水实验一秒验证：装满圆锥，往同底等高的圆柱里倒，正好三次灌满。刚才那罐圆柱配上同底等高的圆锥，只有 $15\pi \approx 47.12$ cm³。

球不分长宽高，公式里只有 $r$ ：

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

半径 3 的球： $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi \approx 113.10$ cm³。

3 : 2 : 1 的巧合

半径 3、高 6（恰好装下这个球）的圆柱： $V = \pi \times 9 \times 6 = 54\pi$ ；球： $36\pi$ ；同底等高的圆锥： $18\pi$ 。三者之比是 3 : 2 : 1——一个球加一个圆锥，恰好灌满那个圆柱。

容器能装多少液体，看体积再换单位（1 cm³ = 1 mL）。半径 5、高 10 的水杯装满约 $\pi \times 25 \times 10 = 250\pi \approx 785$ mL，不到一升——杯子比看上去能装。

先估再算

记住两条手感：圆锥约是同底等高圆柱的三分之一；球塞进同半径的圆柱里，约占三分之二。公式一时想不起来，数量级也估得出。