表面积 · MathLumo

体积量的是「装多少」，表面积量的是「包多少」。给礼盒包一张包装纸、给铁罐刷一层漆、给房间贴墙纸——要的都是立体每一个面的面积总和。

表面积：把立体摊开

表面积就是立体图形所有表面面积之和。最省事的思路是展开：想象沿棱剪开摊平，立体问题立刻变回面积问题——数一数几张脸、每张多大，加起来完事。

正方体最简单：6 个面全等，每个面 $a^2$ ，所以

$S = 6a^2$

棱长 3 cm 的正方体： $6 \times 3^2 = 54$ ，包它需要 54 cm² 的纸。

互动演示展开看表面

长 l4宽 w3高 h2

V = l × w × h = 4 × 3 × 2 = 24

底层方块

层数

拖动棱长，先盯住一个面的面积 $a^2$ ，再心里乘 6——表面积就是六张一样的脸拼在一起。

长方体的 6 个面两两相同：上下、前后、左右各一对。长 $l$ 、宽 $w$ 、高 $h$ 时：

$S = 2(lw + lh + wh)$

拿 4 × 3 × 2 的盒子走一遍：

$S = 2 \times (4 \times 3 + 4 \times 2 + 3 \times 2) = 2 \times (12 + 8 + 6) = 52 \ \mathrm{cm^2}$

先算三张不同的脸，再乘 2 补上各自的搭档——比一张张数快得多。

圆柱的侧面是一张卷起来的长方形：摊平后，长是底面周长 $2\pi r$ ，宽是高 $h$ ；再加上下两个圆片，每个 $\pi r^2$ 。所以

$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

罐头、水杯、油桶——凡是「卷」出来的侧面，都归这张长方形管。

表面积和体积最容易混，分清只需一句话：

包装纸问题

一个 30 × 20 × 10 cm 的礼盒，至少需要多少包装纸？

$S = 2 \times (30 \times 20 + 30 \times 10 + 20 \times 10) = 2 \times (600 + 300 + 200) = 2200 \ \mathrm{cm^2}$

两千二百平方厘米，大约四张 A4 纸的面积（一张约 600 cm²）。真包起来还得给接缝和折叠多留一点。

别漏了看不见的面

摆在桌上的盒子只有 5 个面露着，底面藏着的也算数。表面积算的是全部面——除非题目明说「不算底面」。