比例尺 · MathLumo

家门口到学校有几公里，地图却只有巴掌大；一栋楼几十米高，图纸却铺在桌面上。把世界按比例缩小画下来，靠的是比与比例里练过的功夫——比例尺。

比例尺是一句暗号

1 : 100 读作「1 比 100」，意思是：图上 1 份，实际 100 份。图上 1 cm，实际 100 cm，也就是 1 米；图上 1 米，实际 100 米。

后项越大，图缩得越狠：小区规划图常用 1 : 500，城市地图用 1 : 100000，世界地图缩得更小。

读图纸

比例尺 1 : 50 的平面图上，一面墙画了 2 cm，实际多长？

$2 \times 50 = 100 \ \mathrm{cm} = 1 \ \mathrm{m}$

图上短短 2 厘米，生活里一整米——图纸上的每条线，都要这样放大回真实世界。

图上 → 实际：乘后项。比例尺 1 : 200 的图上量得 5 cm：

$5 \times 200 = 1000 \ \mathrm{cm} = 10 \ \mathrm{m}$

实际 → 图上：除以后项。要把 12 m 宽的房间画进 1 : 150 的图纸：

$12 \ \mathrm{m} = 1200 \ \mathrm{cm}, \qquad 1200 \div 150 = 8 \ \mathrm{cm}$

动手前先统一单位——比例尺两头必须是同一种单位。米对厘米混着算，答案能差一百倍。

长度乘 100，面积乘多少？不是 100，是 $100 \times 100 = 10000$ 。验一验：实际 2 m × 2 m 的地垫，画在 1 : 100 的图上是 2 cm × 2 cm。实际面积 4 m²，也就是 40000 cm²；图上面积 4 cm²——正好差 10000 倍。

所以面积比是长度比的平方：1 : 10 的图，面积差 100 倍；1 : 1000 的地图，面积差一百万倍。长度是一个方向的放大，面积是两个方向一起放大，自然要平方。

面积别按长度放大

比例尺 1 : 100 的图上，花坛量出 6 cm²，实际是多少？不是 600 cm²，而是 $6 \times 10000 = 60000 \ \mathrm{cm^2}$ ，即 6 m²。先平方，再换算。

互动演示缩放坐标板

x3y-2

(3, -2) → 第IV象限

先横着走 x 步，再竖着走 y 步 —— 有序对 (x, y) 唯一确定一个点。

把坐标板当成图纸：每个点的坐标就是图上的「厘米数」。想让图形放大到 3 倍，就把每个坐标都乘 3——形状不变，整体变大。这种「形状不变、大小改变」的变换，正是全等与相似里相似图形的看家本领：比例尺 1 : 100 的地图和真实世界，就是一对相差 100 倍的相似图形。