平方根 · MathLumo

$5^2 = 25$ ，这你早就会了。可要是反过来问「哪个数自己乘自己等于 25」，答案也还是 5——这种倒着问的方式，就是平方根。平方与立方教我们把数平方，今天来学怎么把平方「撤销」。

平方的倒带键

记号 $\sqrt{25}$ 读作「25 的平方根」，问的是：谁平方之后等于 25？

$\sqrt{25} = 5$

理由很简单： $5^2 = 25$ 。平方像把数「拍扁」，开平方就是把照片还原。一正一逆，是一对互逆运算——就像加法与减法、乘法与除法的关系。

能被开得干干净净的数叫完全平方数。把 1 到 15 的平方背下来，开方就变成了「在名单里找熟人」：

$1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100,\ 121,\ 144,\ 169,\ 196,\ 225$

比如 $\sqrt{144} = 12$ ，因为 12 正好在名单上。

要是开方对象不在名单上呢？比如 $\sqrt{50}$ 。用乘法夹它一下：

$7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$

所以 $\sqrt{50}$ 卡在 7 和 8 之间，而且离 7 极近（只比 49 多一点点），估它约等于 $7.07$ 。不用计算器，名单加夹逼就能锁到小数点后两位。

互动演示开方训练

10 × 8 = ?

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开方的底牌就是乘法。把 15 以内的乘法练到脱口而出，看到 50 就能立刻想到 $7 \times 7 = 49$ ，估算速度快一大截。

名单夹逼总有失手的时候： $\sqrt{2} \approx 1.414\ldots$ ，小数点后永远写不完，而且它不是任何分数。传说古希腊毕达哥拉斯学派发现这一点时大为震惊——这类数被称作无理数，它们老实存在，只是拒绝被写成分数。

同样的故事还有立方版： $\sqrt[3]{27} = 3$ ，因为 $3^3 = 27$ ； $\sqrt[3]{64} = 4$ ，因为 $4^3 = 64$ 。至于更复杂的开方，交给计算器没问题——但先用夹逼估个大概，就能一眼看出计算器按错了没。机器给数字，人来把关。

根号不拆加法

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ ，但 $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ 。两个答案不一样——根号必须先把里面算完，不能拆开分给每一项。