运算顺序 · MathLumo

$2 + 3 \times 4$ 等于多少？从左到右顺手一算： $2+3=5$ ， $5\times4=20$ 。可数学家说答案是 14。不是谁算错了，而是这道题的写法里藏着一套人人都得遵守的规矩——运算顺序。没有它，同一道算式会有好几个「正确答案」，计算器和人就没法对话了。

为什么乘除先走

$2 + 3 \times 4$ 的实际场景是：你有 2 颗糖，又买来 3 盒、每盒 4 颗。3 盒的总数 $3 \times 4 = 12$ 颗得先捆成一包，再加自己的 2 颗，共 14 颗。乘法描述的是「3 个 4 打包」，包必须先捆好；加减只是把包搬来搬去，天然排在最后。

四级阶梯

规矩一共四级，从高到低：

括号：最先算，括号里是一个密封的小世界；
乘方（指数）： $2^2$ 、 $5^3$ 这类，紧跟在括号后面；
乘和除：同级，谁在左边谁先算；
加和减：同级，同样从左到右。

英文口诀 PEMDAS（Parentheses、Exponents、Multiply、Divide、Add、Subtract）或 BODMAS（Brackets、Orders、Divide、Multiply、Add、Subtract）说的都是同一架阶梯。注意口诀里 M 和 D、A 和 S 都并排站着——乘除算一级、加减算一级，同级的从左到右，而不是先乘完再除。指数是什么、为什么排这么高，指数一课专门讲。

括号推翻一切

$(2 + 3) \times 4$ ：括号规定先算 $2+3=5$ ，再乘 $4$ ，得 $20$ 。同样的三个数，括号一戴，答案从 14 跳到 20。想改顺序，就动用最高一级。

综合演算：四级全用上

把四级规矩串起来走一遍，每步只做当前最高一级的事，其余原样抄下来。

一步不乱

求 $3 + 4 \times 2^2 - 10 \div 2$ 。

乘方先行： $2^2 = 4$ ，式子变成 $3 + 4 \times 4 - 10 \div 2$ ；
乘除从左到右： $4 \times 4 = 16$ ， $10 \div 2 = 5$ ，变成 $3 + 16 - 5$ ；
加减从左到右： $3 + 16 = 19$ ， $19 - 5 = 14$ 。

答案是 14。任何一步都别抢跑：乘方没算完不碰乘除，乘除没清干净不碰加减。

三个常见陷阱

$2 \times 3^2$ ：乘方只管紧挨着的 3， $3^2 = 9$ ，所以 $2 \times 9 = 18$ 。想算 $(2 \times 3)^2 = 36$ ，得给 $2\times3$ 戴上括号；
$12 \div 2 \times 3$ ：乘除同级，从左到右， $12 \div 2 = 6$ ， $6 \times 3 = 18$ 。先算右边的 $2\times3$ 得 2，是越级插队；
省略的乘号： $3(4 + 1)$ 其实是 $3 \times (4 + 1)$ ，括号里的照旧先算——省略乘号不降低括号的地位。

从左到右只对同级有效

「从左到右」是乘除之间、加减之间的规矩，不是整道算式的规矩。看到乘方和乘法站在一起，先算乘方；看到括号，先钻进括号。

动手检验

随堂小测

1. 2+3×4 = ?
2. 2×3² = ?
3. 12÷2×3 = ?