正比与反比

买的笔越多，付的钱越多；干活的人越多，完工的天数越少。这两种变化都整齐得可疑——整齐到可以用一条公式预测。比与比例打好了底子，现在给它装上发动机。

正比：同一个倍数一起放大

单价 3 元的笔记本，买 1 支付 3 元，买 2 支付 6 元，买 5 支付 15 元。数量翻倍，总价跟着翻倍——这叫正比，写成

$y = kx$

判断标准只有一个： $\frac{y}{x}$ 永远等于同一个数。上面每一步都是 $6 \div 2 = 15 \div 5 = 3$ ，这个不变的 3 就是比例常数 $k$ 。画在图上，正比是一条穿过原点的直线。

60 公里的路，开 60 km/h 用 1 小时，开 30 km/h 用 2 小时，开 20 km/h 用 3 小时。速度变慢时间变长，但每次乘起来都是 $60 \times 1 = 30 \times 2 = 20 \times 3 = 60$ ——这叫反比，写成

$xy = k$

判断标准： $xy$ 永远等于同一个数。工地版的例子：4 个工人 6 天完工，8 个工人只要 3 天，乘积都是 24（人·天）。

拿到一张数据表，先做除法、再做乘法：

$x$	1	2	4
$y$	6	12	24

$\frac{y}{x}$ 每列都是 6——正比， $k = 6$ ，所以 $y = 6x$ 。要是除不出常数，改试乘法：比如 $x$ 取 1, 2, 3 时 $y$ 取 60, 30, 20，乘积恒为 60，反比实锤。

$k$ 就是这段关系的「汇率」：正比时 $k = \frac{y}{x}$ （每个 $x$ 换几份 $y$ ），反比时 $k = xy$ （总量守恒）。找到 $k$ ，表格里没填的空格全都能算出来。

互动演示比例线

斜率 m1截距 b2

y = x + 2

与 y 轴交点

(0, 2)

与 x 轴交点

(-2, 0)

把 $b$ 调到 0，拖动 $m$ ：每一条过原点的直线都是一句正比宣言， $m$ 越大， $x$ 每 +1 换来的 $y$ 越多。把 $b$ 拖离 0，直线还是直线，却不再是正比——原因见下面的提醒。

过原点才算数

出租车 10 元起步价加每公里 2 元，费用和公里数是直线关系，却不是正比：坐 0 公里也要 10 元。正比要求 $x = 0$ 时 $y = 0$ ——一起从零出发，才谈得上同倍放大。