汉诺塔 · MathLumo

传说印度贝拿勒斯的神庙里有三根柱子，僧侣们日夜不停地把 64 个金盘从一根柱子搬到另一根。传说，盘子全部搬完的那一天，世界就会终结。听起来吓人？等你看完步数的规律，就知道这个「末日」有多遥远。

规则只有三条

游戏的目标：把一摞大小不同的盘子从左边的柱子整体搬到右边的柱子上。

规则简单，但第三条是雷：一旦大盘压了小盘，立刻全盘皆输。顺带一提：最小的盘子最自由——它想压谁压谁，永远不犯规。

直接想三个盘子容易乱，诀窍是：先会搬两个盘，才会搬三个盘。

要把 3 个盘搬到目标柱：

$3 + 1 + 3 = 7$ 步，完成。注意到了吗？「搬 2 个盘」这件事出现了两次——大任务被拆成了两次小任务，外加自己的一次移动。

四个盘也一样：先把 3 个盘搬到辅助柱（7 步），挪最大盘（1 步），再把 3 个盘搬回来（7 步），共 15 步。会搬 n−1 个，就会搬 n 个——这条路没有尽头，也永远走得通。

互动演示汉诺塔

圆盘数

已走步数: 0最少步数: 7

每次移动一片，大片不能压在小片上

数一数最少步数：

盘数	1	2	3	4	5
最少步数	1	3	7	15	31

规律是翻倍再加 1： $3 = 1 \times 2 + 1$ ， $7 = 3 \times 2 + 1$ ， $15 = 7 \times 2 + 1$ ……写成公式就是：

$2^n - 1$

n 个盘子，最少就要 $2^n - 1$ 步。这和拆解策略完全对得上：搬 n 个盘 = 搬两次 n−1 个盘 + 挪一次大盘。

算一笔账

$2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ 。就算僧侣每秒移一个盘、一秒不停，也要五千八百多亿年——是宇宙年龄（约 140 亿年）的 40 多倍。所以世界还很安全。

这就是指数增长的可怕之处：加 1 个盘子只是小小的一步，步数却几乎翻倍。从 5 个盘到 10 个盘，最少步数从 31 涨到 1023——每秒走一步也只要 17 分钟，完全没问题；到 20 个盘，超过一百万步。凡是「每步翻倍」的东西，很快就大到没法想象。